Quantentheorie II - FIAS

7.4 · Beispiele für QED-Wirkungsquerschnitte
und unter Zuhilfenahme von (7.4.58) findet man nach einfacher Rechnung (Übung)
Mit (7.4.59) folgt schließlich
dt = −2ω ′ 2 dϑ sinϑ = −
dΩ
π ω′ 2 . (7.4.62)
ω
′ 2
dΩ cm = dΩ, (7.4.63)
ω cm
und (7.4.7) liefert dann unter Zuhilfenahme von (7.4.60) den differentiellen Streuquerschnitt im Laborsystem
dσ
dω = 1 ω
′ 2 2
64m 2 ω f i . (7.4.64)
Setzen wir schließlich (7.4.57) in (7.4.56) ein, erhalten wir nach einigen Umformungen unter Verwendung
von (7.4.58) den Klein-Nishina-Streuquerschnitt für die Compton-Streuung [KN29]
dσ
dΩ = α2 ω
′ 2
ω
2m 2 ω ω + ω′
′ ω − sin2 ϑ . (7.4.65)
In diesem Fall können wir auch den totalen Streuquerschnitt berechnen. Dazu drücken wir ω ′ vermöge
(7.4.58) durch den Streuwinkel ϑ aus und integrieren (7.4.65) über ϑ ∈ [0,π] und multiplizieren
mit 2π für die ϕ-Integration. Nach längeren Umformungen ergibt sich dann
σ = 2πα 1 − 4 m 2 x x − 8
ln(1 + x) + 1 x 2 2 + 8
x − 1
(7.4.66)
2(1 + x) 2
mit
x = s − m2
m 2 = 2ω m . (7.4.67)
Im nichtrelativistischen Limes ω ≪ m, also x ≪ 1, ergibt eine Reihenentwicklung von (7.4.66)
σ = 8πα2 (1 − x). (7.4.68)
3m2 Der erste Term in der Klammer entspricht dem Thomson-Wirkungsquerschnitt für die klassische
Streuung von elektromagnetischer Strahlung an einer Punktladung der Ladung ±e.
Im relativistischen Limes, d.h. x ≫ 1, ergibt die Entwicklung von (7.4.66)
σ = πα (1 + ln x). (7.4.69)
m 2 x
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