Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 7 · Einführung in die Quantenelektrodynamik
7.3 Der invariante Streuquerschnitt
Die Definition des Streuquerschnittes erfolgt genau wie im nichtrelativistischen Fall. Allerdings müssen
wir in der relativistischen Theorie diese Definition im Hinblick auf die Festlegung auf das Laborsystem
präzisieren. Wir definieren also zunächst den Streuquerschnitt für einen Prozeß, bei dem zwei Teilchen
im Anfangszustand (z.B. zwei Elektronen, zwei Positronen, ein Elektron und ein Positron oder ein
Elektron (bzw. Positron) und ein Photon) miteinander stoßen, wobei jetzt aber im Endzustand beliebig
viele Teilchen produziert werden können, solange die fundamentalen Erhaltungssätze von Energie,
Impuls, Drehimpuls und elektrischer Ladung erfüllt sind. Freilich gibt es auch immer noch die elastische
Streuung 1 und den entsprechenden elastischen Wirkungsquerschnitt, aber auch inelastische
Prozesse (wie z.B. Bremsstrahlung e + + e − → e + + e − +γ oder Paarvernichtung e + + e − → γ +γ) 2 .
Das T -Matrixelement wird über das S-Matrix-Element wie im nichtrelativistischen Fall zu
S f i = δ f i + iT f i (7.3.1)
definiert. Für die Matrixelemente f i wählt man nun eine vom nichtrelativistischen Fall etwas abweichende
Konvention. Jedes asymptotisch freie Teilchen im Anfangs- oder Endzustand liefert
gemäß den
Feynmanregeln (Abb. 7.3) für die entsprechenden äußeren Linien stets einen Faktor 1/ (2π) 3 E(⃗p)
(mit E(⃗p) = m 2 + ⃗p 2 bei Elektronen und Positronen bzw. 1/ (2π) 3 | k| ⃗ bei Photonen). Es ist üblich,
außer dem Faktor (2π) 4 δ (4) (P f − P i ) auch noch diese Faktoren auszusondern und nur den Restfaktor
als f i zu bezeichnen. Betrachten wir also einen Prozeß mit zwei Teilchen mit Viererimpulsen p 1 und
p 2 im Anfangs- und n Teilchen mit Viereripulsen p ′ ( j ∈ {1,..., n}) im Endzustand, definieren wir
j
T f i =(2π) 4 δ (4)
p 1 + p 2 −
1
×
(2π) 3 2E(⃗p 1 )
n∑
j =1
p ′ j
f i
1
(2π) 3 2E(⃗p 2 )
n∏
j =1
(7.3.2)
1
(2π)3 2E(⃗p ′ j ).
Die Matrixelemente f i sind dann manifest kovariante skalare Funktionen der beteiligten Viererimpulse.
Deshalb spricht man auch genauer von invarianten Matrixelementen.
Der invariante Streuquerschnitt ist dann im Laborsystem genau wie im nichtrelativistischen Fall
durch die Übergangswahrscheinlichkeitsdichte dividiert durch den Fluß der auf das ruhende Target,
d.h. Teilchen mit dem Viererimpuls p 2 = (m,0,0,0), zulaufenden Teilchen mit Viererimpuls p 1 =
E(⃗p), ⃗p
und die Dichte des ruhenden Teilchens definiert.
Wir benötigen also zunächst die Dichte für die Teilchen. Für Elektronen oder Positronen erhalten wir
sie z.B. über deren Ladungsdichte, also die Zeitkomponente des erhaltenen Stromes (6.6.50), wobei
wir in der quantisierten Theorie die Normalordnung zu berücksichtigen haben. Mit Hilfe der Modenentwicklung
(7.2.5) ergibt dies unter Verwendung des Wickschen Theorems für Elektronen bzw.
1 genannt Møller-Streuung für e − + e − → e − + e − bzw. e + + e + → e + + e + , Bhabba-Streuung für e − + e + → e − + e + und
Compton-Streuung für e − + γ → e − + γ bzw. e + + γ → e + + γ
2 Es ist eine gute Übung sich zu überlegen, warum es aufgrund der Energie-Impulserhaltung den Prozeß e + +e − → γ nicht
geben kann! Dabei ist zu beachten, daß die Viererimpulse asymptotisch freier Teilen stets „on shell“ sind, d.h. es gilt p 2 = m 2
für Elektronen und Positronen bzw. k 2 = 0 für Photonen im Anfangs- bzw. Endzustand.
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