Quantentheorie II - FIAS

6.2 · Das klassische Teilchenbild
Daraus ist sofort ersichtlich, daß die Mandelstamvariable s das Quadrat der Gesamtenergie im
Schwerpunktsystem angibt:
s = ( p (cm)
1
+ p (cm)
2
) 2 = (E (cm)
1
+ E (cm)
2
) 2 = ( p (cm)
3
+ p (cm)
4
) 2 = (E (cm)
3
+ E (cm)
4
) 2 . (6.2.29)
Zusammen mit den Energie-Impulsbeziehungen ergibt sich für den Schwerpunktsimpulsbetrag im Eingangsbzw.
Ausgangskanal
[s −
P (cm) (m1 + m
=
2 ) 2 ][s − (m 1 − m 2 ) 2 ]
2 ,
s
[s −
P ′(cm) (m3 + m
=
4 ) 2 ][s − (m 3 − m 4 ) 2 ]
2 .
s
(6.2.30)
6.2.4 Relativistisches Punktteilchen im äußeren elektromagnetischen Feld
Wie wir im nächsten Abschnitt noch ausführlich besprechen werden, können wir das elektromagnetische
Feld mit Hilfe eines Vierervektorpotentials kovariant beschreiben. Dazu bemerken wir nur, daß 3
∂ µ :=
∂
∂ x µ (6.2.31)
ein Vektoroperator ist, d.h. wendet man diesen Operator auf ein beliebiges Tensorfeld an, entsteht ein
Tensorfeld einer um 1 höheren Stufe als das ursprüngliche. Der neu entstande Index ist dabei entsprechend
seiner Indexstellung ein kovarianter Index. Zur Abkürzung definiert man daher wie bei beliebigen
Tensorindizes
∂ µ = g µν ∂ ν =
∂ . (6.2.32)
∂ x µ
Ist A ν das Vierervektorpotential des elektromagnetischen Feldes, so sind die Feldstärkekomponenten
in dem Vierertensor zweiter Stufe
F µ ν (x) = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ (6.2.33)
zusammengefaßt. Dies erkennt man, wenn man die zeitlichen und räumlichen Komponenten getrennt
behandelt. Für µ=0 ist nämlich
F 0 0 = 0, F 0 a = ∂
∂ x 0 Aa − ∂
∂ x a
A 0 =
F a b =
∂
∂ x 0 Aa +
∂
∂ x a A0 = −E a ,
∂
∂ x a Ab − ∂ x b
= ∂
A a ∂ x a Ab −
∂
∂ x b Aa = ε ab c ( ∇ ⃗ × A) ⃗ c .
(6.2.34)
Dabei laufen lateinische Indizes stets über die räumlichen Indizes {1,2,3}, und wir verwenden die Summationskonvention
für Dreiervektoren und -tensoren wie gehabt auch für gleichständige Indizes; ε ab c
ist das übliche volltständig antisymmetrische Levi-Civita-Symbol im Euklidischen 3 . Identifizieren
wir nämlich A 0 mit dem skalaren und ⃗ A mit dem üblichen Vektorpotential der dreidimensionalen Elektrodynamik,
so folgt (6.2.34) aus den in der Dreierschreibweise geschriebenen Beziehungen
⃗E = − ∂ ∂ t
⃗A− ⃗ ∇A 0 , ⃗ B = ⃗ ∇ × ⃗ A. (6.2.35)
3 Es ist sehr wichtig die Indexstellungen in dieser Gleichung genau zu beachten!
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