Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 7 · Einführung in die Quantenelektrodynamik
a
a
1
p,σ = (2π) u 3 a (⃗p,σ)
2E(⃗p)
1
p,σ = (2π) v 3 a (⃗p,σ)
2E(⃗p)
µ µ
Elektronen
a
Positronen
a
k,α
= k,α =
1
(2π) 3 2| ⃗ k|
ε µ α (⃗ k))
1
p,σ = (2π) u 3 a (⃗p,σ)
2E(⃗p)
1
p,σ=
(2π) v 3 a (⃗p,σ)
2E(⃗p)
Abbildung 7.4: Die Feynman-Regeln der QED für die äußeren Linien bei der Berechnung der invarianten
Matrixelemente f i .
invariant sind. Dies sieht man aber sofort an der folgenden manifest kovarianten Schreibweise,
d 3 ⃗p ′ 1
2E(⃗p ′ 1 ) = ∫
d p
1
′ 0 d 3 ⃗p ′ 1 Θ( p0 1 )δ( p′ 2
1 − m
2
1
). (7.3.10)
Da d p 0 1 d3 ⃗p ′ 1 = d4 p 1 invariant ist, und im Integranden nur Invarianten stehen, ist also in der Tat das
Integralmaß auf der linken Seite dieser Gleichung ebenfalls eine Lorentz-Invariante. Insgesamt ist also
der differentielle Streuquerschnitt (7.3.9) in der Tat ein invarianter Wirkungsquerschnitt.
Bei der Berechnung des totalen Wirkungsquerschnitts muß man die Impulsintegrale ausführen und
ggf. die Mehrfachzählung von Zuständen im Falle, daß identische Teilchen im Endzustand auftreten,
berücksichtigen, d.h. ist eine Teilchenspezies k im betrachteten Endzustand n k -mal vorhanden, ist der
totale Streuquerschnitt durch (n k !) zu dividieren.
Die invarianten Matrixelemente f i können nun mit den folgenden Feynmanregeln berechnet werden:
Der Beitrag der Bornschen Reihe (im relativistischen Kontext auch als Dyson-Wick-Reihe bezeichnet
3 ) der n-ten Ordnung zum Matrixelement i f i ergibt sich wie im nichtrelativistischen Fall
wie folgt:
1. Man zeichne alle topologisch verschiedenen Diagramme mit äußeren Beinchen entsprechend
dem betrachteten Anfangs- und Endzustand des Streuprozesses, die n Vertizes beinhalten. Alle
Diagramme erhalten einen Faktor 1/n! (der aus der Exponentialreihe der Born-Entwicklung
stammt). Jedes Diagramm erhält einen kombinatorischen Faktor, der zählt, auf wie viele Arten
die Kontraktionen ausgeführt werden können, um das Diagramm der vorgegebenen Topologie
zu erhalten.
2. An jedem eeγ-Vertex gilt Energie- und Impulserhaltung. Ebenso gilt Energie- und Impulserhaltung
für den gesamten Prozeß, also die Viererimpulserhaltung für das Gesamtdiagramm. Über al-
3 Bemerkenswerterweise hat Feynman diese Regeln ohne Rückgriff auf die formale Quantenfeldtheorie aus intuitiven
Überlegungen hergeleitet und dabei seine Diagrammtechnik entwickelt. Gleichzeitig hatte Schwinger mit sehr formalen Betrachtungen
die Störungstheorie ausgearbeitet. Beide haben auf einer berühmten Konferenz auf Shelter Island (New York)
ihre Resultate vorgetragen und waren sehr erstaunt, daß sie auf völlig verschiedenem Wege zu den gleichen Resultaten gelangten.
Dyson hat dann über die quantenfeldtheoretische Betrachtungsweise, die der hier präsentierten Darstellung sehr
ähnlich war, die Erklärung nachgeliefert. Wick hat dann in diesem Zusammenhang zu der Entwicklung der invarianten Störungstheorie
durch sein bereits oben bei der nichtrelativistischen Theorie besprochenen Theorems zur Berechnung von Vakuumerwartungswerten
von Feldoperatoren beigetragen. Für eine umfassende Darstellung der historischen Entwicklung sei
auf [Sch94], das auch die parallele Entwicklung in Japan (Tomonaga) und die Schweizer Beiträge (Belinfante, Pauli et al.)
gebührend würdigt, verwiesen.
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