Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 6 · Einführung in die relativistische Quantentheorie
Die relativistische Raumzeit ist ein vierdimensionaler reeller Punktraum, auf dem eine Fundamentalform
(„Pseudometrik”) der Signatur (1,3) definiert ist, d.h. führt man ein bzgl. dieser Fundamentalform
orthonormiertes Basissystem in einem beliebig gewählten Bezugspunkt der Raumzeit ein, können wir
jeden Raumzeitpunkt umkehrbar eindeutig durch die vier kontravarianten Vektorkomponenten x µ
(µ ∈ {0,1,2,3}) beschreiben, und die Fundamentalform besitzt die kovarianten Tensorkomponenten
⎛
⎞
1 0 0 0
(g µν ) = ⎜0 −1 0 0
⎟
⎝0 0 −1 0 ⎠ . (6.1.3)
0 0 0 −1
Der 4 mit dieser Fundamentalform heißt Minkowskiraum. Jedes Bezugssystem, in dem die Fundamentalform
diese Komponenten besitzt, ist ein Inertialsystem. Im folgenden schreiben wir kontravariante
Vektorkomponenten auch als Spaltenvektor
⎛
x 0 ⎞
(x µ ) = ⎜x 1
⎟ x
⎝x 2 ⎠ = 0
. (6.1.4)
⃗x
x 3
Die Fundamentalform definiert das Minkowskiprodukt zwischen zwei Vierervektoren:
x · y := g µν x µ y ν = x 0 y 0 − ⃗x · ⃗y, (6.1.5)
wobei über gegenständige gleichnamige Indizes summiert wird (Einsteinsche Summationskonvention)
und ⃗x · ⃗y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 das übliche Skalarprodukt im Euklidischen 3 bezeichnet. Die
kovarianten Komponenten eines Vektors, die wir in einem Spaltenvektor anordnen, erhält man durch
„Indexziehen” mit dem Fundamentaltensor,
(x µ ) = (g µν x ν ) = (x 0 ,−x 1 ,−x 2 ,−x 3 ) = (x 0 ,−⃗x t ), (6.1.6)
wobei ein hochgestelltes t an einem Vektor oder einer Matrix die Transposition bezeichnet, d.h. ⃗x t ist
der Zeilenvektor (x 1 , x 2 , x 3 ).
Entsprechend werden mit g µν die kontravarianten Komponenten der Fundamentalform bezeichnet.
Da für jeden Vektor
x µ = g µν x ν = g µν g νσ x σ (6.1.7)
gelten soll, muß notwendig
1 für µ = ν
g µν g νσ = δ µ σ = 0 für µ ≠ ν
(6.1.8)
sein, so daß
⎛
⎞
1 0 0 0
(g µν ) = ⎜0 −1 0 0
⎟
⎝0 0 −1 0 ⎠ (6.1.9)
0 0 0 −1
ist.
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