Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 5 · Vielteilchensysteme wechselwirkender Teilchen
Target. Dann ist
⃗p 1 = ⃗p L , ⃗p 2 = 0. (5.1.46)
Aufgrund der Impulserhaltung ist also (mit ⃗p ′ 1 = ⃗p ′ L )
⃗p ′ 2 = ⃗p L − ⃗p ′ L . (5.1.47)
Der Betrag von ⃗p 1 ist weiter noch durch die Energieerhaltung festgelegt:
P
2
δ(E 1 + E 2 − E
1 ′ − E 2 ′ ) = δ 1
+ P2 2 − P 1 ′ 2 − P
2 ′ 2 P
′ 2
= δ L
− P
L ′ P L cosϑ
L
2m
m
m
=
2P
L ′ − P L cosϑ δ(P
L ′ − P L cosϑ L ) ⇒ P L ′ = P L cosϑ L
L
(5.1.48)
wobei wir Beträge von Dreierimpulsen mit dem entsprechenden Großbuchstaben bezeichen, also z.B.
|⃗p 1 | = P 1 setzen. Der Winkel ϑ L zwischen der Richtung des einfallenden Teilchens (in unserer Konvention
die z-Richtung) und eines der auslaufenden Teilchen heißt Streuwinkel im Laborsystem. Da die
Impulsbeträge nicht negativ sein dürfen, ist der kinematisch erlaubte Bereich ϑ L ∈ [0,π/2]. Weiter gilt
d 3 ⃗p ′ 1 = dP L ′ P L ′ 2 dΩ L mit dem Raumwinkelelement dΩ L = dϑ L dϕ L sinϑ L . Der differentielle Streuquerschnitt
ergibt sich dann durch Integration über ⃗p ′ 2
, wodurch die δ-Distribution für die räumlichen
Impulse ausintegriert wird, was (5.1.47) sicherstellt, und schließlich über dP
L ′ unter Verwendung
von (5.1.48):
dσ
dΩ L
= (2π) 4 | | 2 m 2 cosϑ L . (5.1.49)
Man rechnet aufgrund der kinematischen Beziehungen (5.1.46-5.1.47) leicht nach (Übung), daß für den
Impuls des zweiten Teilchens
P ′ 2 = P L sinϑ L = P L cos(π/2 − ϑ L ) (5.1.50)
gilt. Daraus schließt man, daß ⃗p ′ 1 = ⃗p ′ L und ⃗p ′ 2
stets aufeinander senkrecht stehen. Das rechnet man
auch formal aus der oben hergeleiteten Kinematik nach, aus der sofort ⃗p ′ L · ⃗p ′ 2
= 0 folgt. Die kinematischen
Verhältnisse sind in Abb. 5.2 dargestellt.
Bei der Berechnung des totalen Streuquerschnittes ist zu beachten, daß bei ununterscheidbaren Teilchen
über den gesamten kinematischen Bereich, insbesondere also auch über ϑ L ∈ [0,π/2], zu integrieren
ist. Dies führt aber zur Doppeltzählung eines jeden möglichen Streuereignisses, da sich ja mit der
Streuung des einen Teilchens in Richtung von ϑ L dasselbe Streuereignis durch die Detektion des zweiten
Teilchens bei π/2−ϑ L erneut erfaßt wird. Es ist also entsprechend der Identität der beiden Teilchen
im Endzustand ein zusätzlicher Faktor 1/2 anzubringen.
Schwerpunktsystem
Betrachten wir nun ein Colliderexperiment, bei dem beide Teilchen mit betragsmäßig gleichen einander
entgegengesetzten Impulsen aufeinandergeschossen werden, d.h. es ist 4
⃗p 1 = ⃗p cm = −⃗p 2 . (5.1.51)
4 Die Bezeichnung „cm“ in den folgenden Formeln stammt von der englischen Bezeichnung „center-mass frame“ oder, was
im relativistischen Fall präziser ist „center-momentum frame“ für das Schwerpunktssystem.
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