Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 2 · Galilei-Symmetrie
kurz U(θ) für U[Γ (θ)] und Φ(θ 2 ,θ 1 ) für Φ[Γ (θ 2 ),Γ (θ 1 )]. Definitionsgemäß sollen die Parameter so
gewählt werden, daß Γ (0) = 1 G ist. Dann folgt aus der Beziehung (2.5.6)
f (θ,0) = f (0,θ) = θ. (2.5.8)
Daraus folgt für die Entwicklung der Funktion f bis zur zweiten Ordnung in den Gruppenparametern
f a (θ 2 ,θ 1 ) = θ 2a + θ 1a + C ab c θ 2b θ 1c + ··· mit C ab c = ∂ 2 f a (θ 2 ,θ 2 ) θ1
. (2.5.9)
∂ θ 2a ∂ θ 1b =θ 2 =0
Weiter können wir die Phasen einer jeden Transformation U(Γ ) so gewählt denken, daß
ist. Aus dieser Bedingung folgt dann für die Entwicklung der Phasen
(Übung!).
Setzen wir weiter
Φ(θ 2 ,0) = Φ(0,θ 1 ) ≡ 0 (2.5.10)
Φ(θ 2 ,θ 1 ) = Φ ab θ 2a θ 1b + ··· (2.5.11)
iτ a = ∂ U(θ)
∂ θ a
θ=0
(2.5.12)
und nehmen wir an, daß die Gruppe (zumindest in einer bestimmten Umgebung der Gruppenidentität)
einfach zusammenhängend ist, so daß für ein gegebenes (endliches) θ ∈ D die ganze gerade
Verbindungslinie λθ, λ ∈ [0,1], ebenfalls in D liegt, so können wir dieselben Argumente wie bei der
Herleitung von (2.1.31) für die Drehgruppe anwenden und erhalten
U(θ) = exp(iτ a θ a ). (2.5.13)
Aus der Unitarität der U folgt dann unmittelbar die Selbstadjungiertheit der τ a , denn zunächst gilt
U(θ)U † (θ) = 1 ⇒ ∂ U(θ) U † (θ) + U(θ) ∂ U† (θ)
= 0. (2.5.14)
∂ θ a
∂ θ a
Setzen wir hierin θ = 0 und verwenden die Definition (2.5.12) der τ a , folgt in der Tat
τ † a = τ a . (2.5.15)
Nun können wir mit Hilfe von (2.5.9) und (2.5.11) die Strahldarstellungseigenschaft (2.5.7) bis zur
zweiten Ordnung in den Gruppenparametern entwickeln. Nach kurzer Rechnung (Übung!) folgt
1 + iτ a (θ 2a + θ 1a + C ab c θ 2b θ 1c )
− 1 2 τ b τ c (θ 2b θ 2c + θ 2b θ 1c + θ 2c θ 1b + θ 1a θ 1b ) + Φ b c θ 2b θ 1c 1 (2.5.16)
!
= 1 + iτ a (θ 1a + θ 2a ) − 1 2 τ b τ c (θ 1b θ 1c + 2θ 2b θ 1c + θ 2b θ 2c )
Der Koeffizientenvergleich liefert nach Kürzen der auf beiden Seiten gleichen Terme
iτ a C ab c − 1 2 {τ b ,τ c } + Φ b c 1 = −τ b τ c . (2.5.17)
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