Quantentheorie II - FIAS

2.12 · Der Stern-Gerlach-Versuch
wohlbestimmten Spinzustand. Man kann also durch Nachweis eines Silberatoms am Schirm mit einer
nahezu 100%-Wahrscheinlichkeit sagen, welchen Wert σ = ±1/2 die Spin-z-Komponente dieses Silberatoms
besitzt. Voraussetzung dafür ist allerdings, daß der Ort der Teilchen zumindest in z-Richtung
so scharf bestimmt ist, daß die beiden Teilstrahlen als wohlsepariert angesehen werden können. In diesem
Zusammenhang nennt man die Ortskomponente z auch eine Zeigervariable, denn sie wird bei
dem betrachteten Versuchsaufbau zur Messung der eigentlich interessierenden Observable, nämlich der
Spin-z-Komponente, im Sinne des Zeigers eines Meßgerätes verwendet.
Wir betrachten nun diese Vorgänge quantitativ. Zunächst beschreiben wir den Anfangszustand des
Atomstrahls vereinfacht durch einen beliebigen Spinzustand und bzgl. des Ortes als Gaußsches Wellenpaket,
das um ⃗x = 0 gepeakt ist und einen entsprechend der Unschärferelation bestimmten Impuls
mit ⃗p = p 0
⃗e x besitzt:
c σ
ψ σ (t = 0, ⃗x) =
(2π∆ 2 ) exp − ⃗x2
3/4 4∆ + i p 2 0 x , |c 1/2 | 2 + |c −1/2 | 2 = 1. (2.12.5)
Diese Wellenfunktion ist normiert (Übung!):
∫
3 d 3 ⃗x |ψ(t = 0, ⃗x)| 2 = 1. (2.12.6)
Die zeitliche Entwicklung dieser Wellenfunktion ist durch den Hamiltonoperator (2.12.3) bestimmt.
Wir betrachten hier aber nur den einfacheren Hamiltonoperator (2.12.4) und berechnen den Propagator.
Dazu verwenden wir die Methode, die wir in Abschnitt 1.10 verwendet haben, um den Propagator
für das freie Teilchen zu berechnen.
Wir berechnen also die Zeitentwicklung im Heisenberg-Bild, d.h. der Zustandsvektor |ψ〉 ist zeitlich
konstant, und die Zeitabhängigkeit der hier relevanten Observablenoperatoren wird durch die Heisenbergschen
Bewegungsgleichungen
d⃗x
dt = 1
⃗x,H
′ = ⃗p i M , (2.12.7)
d⃗p
dt = 1 ⃗p,H
′ = −⃗e
i
z M aS z , (2.12.8)
dS z
= 1
Sz ,H ′ = 0
dt i
(2.12.9)
beschrieben. Dabei haben wir zur Abkürzung die Beschleunigung a = µ B g s β/M eingeführt. Die Gleichungen
(2.12.7)-(2.12.9) sind unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen
⃗x(0) = ⃗x ′ , ⃗p(0) = ⃗p ′ , S z (0) = S ′ z (2.12.10)
zu lösen. Die Integration ist in diesem Falle sehr einfach und ergibt (Übung!)
⃗x = − a 2 t 2 S ′ z ⃗e z + 1 M ⃗p ′ t + ⃗x ′ ,
⃗p = −M at S ′ z ⃗e z + ⃗p ′ ,
(2.12.11)
S z = S ′ z .
Wie wir in (1.10.17) gesehen haben, ist das konjugiert Komplexe des Propagators durch
U ∗ σσ ′ (t, ⃗x; t 0 = 0, ⃗x ′ ) = t = 0, ⃗x ′ ,σ ′ t, ⃗x,σ = t = 0, ⃗x ′ ,σ ′ exp(itH) t = 0, ⃗x,σ (2.12.12)
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