Quantentheorie II - FIAS

7.2 · Spinor-QED in Coulombeichung
Unter Verwendung der folgenden Formeln für die Heaviside-Einheitssprungfunktion
erhalten wir
Θ(x 0 − y 0 )
Ωψ a
(x)ψ b
(y) Ω ∫
= i
−Θ(y 0 − x 0 )
Ωψ b
(y)ψ a
(x) Ω ∫
= i
∫
= i
4
∫
= −i
∫
Θ(t)exp[−iE( k)t] ⃗ = i
dk 0
2π
∫
Θ(−t)exp[+iE( k)t] ⃗ = −i
4
4
dk 0
2π
exp(−ik 0 t)
k 0 − E( ⃗ k) + i0 + ,
exp(−ik 0 (7.2.10)
t)
k 0 + E( k) ⃗ − i0 +
d 4 k /k + m exp[−ik · (x − y)]
(2π) 4 2E( k) ⃗ k 0 − E( k) ⃗ , (7.2.11)
+ i0 +
d 4 k E( k)γ ⃗ 0 − k ⃗ · ⃗γ − m exp[−ik 0 (x 0 − y 0 ) − ik ⃗ · (⃗x − ⃗y)]
(2π) 4 2E( k) ⃗ k 0 + E( k) ⃗ − i0 +
d 4 k −k 0 γ 0 − ⃗γ · ⃗k − m exp[−ik 0 (x 0 − y 0 ) − ik ⃗ · (⃗x − ⃗y)]
(2π) 4 2E( k) ⃗ k 0 + E( k) ⃗ − i0 +
4
d 4 k /k + m
(2π) 4 2E( k) ⃗
exp[−ik · (x − y)]
k 0 + E( ⃗ k) − i0 + . (7.2.12)
Dabei haben wir im letzten Schritt ⃗ k durch − ⃗ k substituiert. Fügen wir beide Teile gemäß (7.2.7) zum
Propagator zusammen, erhalten wir nach einigen einfachen Umformungen (Übung!)
G ab (x − y) =
∫ 3 d 4
(2π) 4 ˜Gab (k)exp[−ik · (x − y)] mit (7.2.13)
˜G ab (k) = (/k + m1 4 ) ab
k 2 − m 2 + i0 + (7.2.14)
Meist gibt man den Elektron-Positron-Propagator auch einfach als Spinormatrix an, ohne die Indizes
explizit zu schreiben,
/k + m
˜G(k) =
k 2 − m 2 + i0 . (7.2.15)
+
Man rechnet unter Verwendung der Modenentwicklung (6.7.4) auch leicht nach, daß die „anomalen
Propagatoren“ verschwinden:
〈Ω| c ψ a
(x)ψ b
(y)|Ω〉 =
Ω c ψ a
(x)ψ b
(y) Ω = 0. (7.2.16)
Der Photonenpropagator
Der zeitgeordnete Photonenpropagator, den wir für die Feynmanregeln der Störungstheorie benötigen,
ist durch
i∆ µν (x − y) = 〈Ω| c A µ (x)A ν (y)|Ω〉 (7.2.17)
definiert. In der hier verwendeten Strahlungseichung ist A 0 = 0 und folglich
∆ 00
⊥ = ∆a0 ⊥ = ∆0a = 0 für a ∈ {1,2,3}. (7.2.18)
⊥
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