Quantentheorie II - FIAS

2.5 · Quantentheoretische Formulierung von Symmetrieprinzipien
Daraus wird aber unmittelbar klar, daß jede unitäre Transformation, die sich von U nur um einen
Phasenfaktor unterscheidet,
U ′ = exp(iϕ)U, (2.5.3)
vollständig äquivalent zu der Realisierung der Symmetrie durch U ist, denn die Ausdrücke (2.5.2) ändern
sich nicht, wenn man statt U die Transformation U ′ verwendet. Es sind also die unitären Transformationen,
die Symmetrien beschreiben, nur bis auf einen willkürlichen Phasenfaktor festgelegt.
Betrachtet man genauer, welche Größen gemäß den Postulaten der Quantentheorie (vgl. Abschnitt 1.1)
beobachtbaren Aussagen entsprechen, stellt man sogar fest, daß Symmetrietransformationen auch durch
antiunitäre Transformationen beschrieben werden können. Dabei heißt eine Transformation A antiunitär,
wenn sie antilinear ist, d.h. wenn
A(λ 1 |ψ 1 〉 + λ 2 |ψ 2 〉) = λ ∗ 1 A|ψ 1 〉 + λ∗ 2 A|ψ 2 〉 (2.5.4)
gilt. Weiter heißt eine antilineare Abbildung U antiunitär, wenn für Skalarprodukte beliebiger Vektoren
〈Uψ 1 | Uψ 2 〉 = 〈ψ 1 |ψ 2 〉 ∗ = 〈ψ 2 |ψ 1 〉 (2.5.5)
ist.
Nach einem berühmten Theorem von Wigner muß jede Symmetrietransformation in der Quantentheorie
entweder durch eine unitäre oder eine antiunitäre Transformation dargestellt werden. Den einfachen
aber umfangreichen Beweis wollen wir hier nicht führen. Der interessierte Leser sei auf [Bar64]
oder [Hee98] verwiesen. Außerdem zeigt sich, daß Symmetrietransformationen, die stetig aus der Identität
1 hervorgehen, stets durch unitäre Operatoren dargestellt werden müssen.
Sei also G eine Lie-Gruppe mit Parametern θ = (θ a ) ∈ D ⊆ n , wobei a ∈ {1,2,..., n}. Dann definieren
wir die Funktion f : D 2 → D durch die Forderung
Es sei nun U : G → ( ) 5 , so daß
Γ (θ 2 )Γ (θ 1 ) = Γ [ f (θ 2 ,θ 1 )]. (2.5.6)
U(Γ 2 Γ 1 ) = exp[iΦ(Γ 2 ,Γ 1 )]U(Γ 2 )U(Γ 1 ) (2.5.7)
mit Φ(Γ 1 ,Γ 2 ) ∈ für alle Γ 1 = Γ (θ 1 ),Γ 2 = Γ (θ 2 ) ∈ G gilt. Man bezeichnet solch eine Abbildung eine
unitäre Strahldarstellung der Gruppe. Offensichtlich stellt sie bis auf die quantentheoretisch irrelevanten
Phasenfaktoren eine Realisierung der Gruppe durch unitäre Abbildungen auf dem Hilbertraum
dar. Falls Φ(Γ 2 ,Γ 1 ) ≡ 0 ist, spricht man von einer unitären Darstellung der Gruppe. Oft kann man
durch einfache Umdefinition der Phasen der unitären Abbildungen alle Φ(Γ 2 ,Γ 1 ) zum Verschwinden
bringen. Dann ist es bequemer und ohne Beschränkung der Allgemeinheit möglich, direkt mit der dadurch
entstehenden Darstellung zu arbeiten. Wie wir sehen werden, ist es für die Galileigruppe nicht
möglich, eine für die Quantentheorie adäquate Darstellung zu finden, d.h. man muß eine echte Strahldarstellung
betrachten.
Die Analyse der möglichen Strahldarstellungen für Lie-Gruppen wird nun erheblich erleichtert, weil
man zunächst die entsprechenden Darstellungen der dazugehörigen Lie-Algebra betrachten kann und
dann, zumindest in einer Umgebung der Gruppenidentität, aus diesen durch Exponentiation die dazughörigen
Strahldarstellungen der Gruppe selbst gewinnen können. Im folgenden schreiben wir auch
5 ( ) bezeichnet alle unitären Transformationen des Hilbertraums
71