Quantentheorie II - FIAS

6.1 · Relativistische Raumzeitstruktur und Lorentzgruppe
Dabei bezeichnet ⃗a ⊗ ⃗ b, das dyadische Produkt zwischen zwei Dreiervektoren, d.h. die Matrix mit
den Elementen
(⃗a ⊗ ⃗ b) i j = a i b j , (6.1.26)
und die Multiplikation mit einem Spaltenvektor von links bedeutet also
(⃗a ⊗ ⃗ b · ⃗c) i = a i b j c j = a 1
⃗ b˙⃗c. (6.1.27)
Die Wirkung des Boosts (6.1.25) auf die Komponenten eines beliebigen Vierervektors ist also durch
γ(x
B( ⃗v)x =
0
− ⃗v · ⃗x)
⃗x + (γ − 1) ⃗v ( ⃗v · ⃗x)/ ⃗v 2 − γ ⃗v x 0 (6.1.28)
gegeben. Wir bemerken weiter, daß die Drehungen um eine beliebige feste Achse sowie die Boosts entlang
einer beliebigen gesten Koordinatenrichtung jeweils abelsche Einparameteruntergruppen der
Lorentzgruppe bilden, denn mit Hilfe der Additionstheoreme der trigonometrischen bzw. hyperbolischen
Funktionen ergibt sich sofort (Übung!)
D 3 (φ 1 )D 3 (φ 2 ) = D 3 (φ 1 + φ 2 ), B 3 (η 1 )B 3 (η 2 ) = B 3 (η 1 + η 2 ). (6.1.29)
Es ist wichtig zu bemerken, daß zwar die Drehungen eine Untergruppe der Lorentzgruppe bilden, nicht
aber die Boosts. Die Hintereinanderausführung zweier drehungsfreier Boosts in unterschiedlicher Richtung
sind i.a. weder kommutativ noch drehungsfrei!
Wir machen noch ohne Beweis (der interessierte Leser sei z.B. auf [Hee02] verwiesen) einige allgemeine
Bemerkungen zur Sturktur der Lorentzgruppe.
Man bezeichnet die volle Lorentzgruppe auch als O(1,3). Dies sind alle Matrizen, die (6.1.16) erfüllen
und also das Minkowski-Produkt (6.1.5) invariant lassen. Die Benennung (1,3) rührt daher, daß
die Komponentenmatrix der entsprechenden Fundamentalform einen positiven und drei negative Eigenwerte
besitzt wie unmittelbar aus (6.1.3), wo eine „pseudoorthogonale“ Basis (physikalisch einem
Inertialsystem entsprechend) gewählt wurde. Aus (6.1.16) folgt
Es ist also
1
detΛ = det(Λ−1 ) = det(gΛ t g) = (det g) 2 detΛ t = detΛ ⇒ (detΛ) 2 = 1. (6.1.30)
detΛ = ±1. (6.1.31)
Die stetig mit der Identität zusammenhängenden Lorentztransformationen müssen also detΛ = +1
erfüllen. Offenbar bilden alle Lorentztransformationen mit Determinante 1 eine Untergruppe, die man
als eigentliche Lorentzgruppe SO(1,3) bezeichnet.
Nun schreiben wir (6.1.16) durch Multiplikation von links mit Λ in der Form
ΛgΛ t g = 1 4 ⇒ ΛgΛ t = g, (6.1.32)
wobei wir im zweiten Schritt die Gleichung noch unter Berücksichtung von g 2 = 1 4 von rechts mit g
multipliziert haben. In Komponentenschreibweise lautet diese Gleichung
Setzen wir darin ρ = σ = 0, folgt, daß für alle Lorentztransformationen
g µν Λ µ ρ Λν σ = g ρσ . (6.1.33)
(Λ 0 0 )2 ≥ 1 ⇒ Λ 0 0 ≥ 1 oder Λ0 0 ≤ −1. (6.1.34)
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