Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 1
Erinnerung an die Quantenmechanik I
In diesem Kapitel rekapitulieren wir kurz die wesentlichen mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik
wie sie aus der Vorlesung „Quantenmechanik I“ bekannt sein sollten. Dabei liegt der
Schwerpunkt auf den Begriffen des quantenmechanischen Zustandes und der Observablen, wobei wir
uns der darstellungsfreien Beschreibung mittels Operatoren und Vektoren im Hilbertraum in der
Diracschen Bra-Ket-Schreibweise bedienen. Wichtig ist dabei auch die Beschreibung der Dynamik
quantenmechanischer Systeme, wobei die Verteilung der Zeitabhängigkeit auf Zustandsvektoren und
Operatoren, die Observable repräsentieren, weitgehend willkürlich ist. Wir besprechen die für das folgende
wichtigsten Bilder der Zeitentwicklung, nämlich Schrödinger-, Heisenberg- und Dirac-Bild.
Bzgl. der physikalischen Interpretation der Quantenmechanik, die auch heute noch als nicht endgültig
geklärt gelten darf, folge ich der Minimalen Statistischen Interpretation [Bal70, Bal98], da
mir diese als die bislang in sich konsistenteste und der tatsächlichen Anwendung der Quantentheorie
auf reale Phänomene durch die Mehrheit der Physiker am nächsten kommende Auffassung erscheint.
Wir werden auf solche Grundlagenfragen in dieser Vorlesung aus Zeitgründen allerdings nur wenig
eingehen können.
1.1 Die Grundpostulate der Quantentheorie
In diesem Abschnitt stellen wir die grundlegendsten Begriffe der quantentheoretischen Beschreibung
zusammen, wobei wir uns als Beispiel eines einzelnen Elektrons in einem äußeren Potential bedienen
wollen (z.B. dem einfachsten Modell des Wasserstoffatoms als einem Elektron im Coulombfeld eines
als ruhend angenommenen Protons).
Wir stellen zunächst die Struktur der Quantentheorie in einigen Grundpostulaten zusammen und
erläutern sie dann genauer:
1. Der Zustand eines quantenmechanischen Systems wird durch einen normierten Vektor |ψ〉 eines
Hilbertraums repräsentiert.
2. Jede physikalische Observable O wird durch einen (auf einem dichten Teilraum von definierten)
selbstadjungierten Operator O repräsentiert.
Die möglichen Meßwerte der Observablen sind durch die (verallgemeinerten) Eigenwerte des ihr
zugeordneten Operators gegeben.
3. Die (verallgemeinerten) Eigenvektoren |o,α〉 des Operators O zum (verallgemeinerten) Eigen-
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