Quantentheorie II - FIAS

6.5 · Das Verhalten der Felder unter Poincaré-Transformationen
Beitrag liefert. Verwenden wir nun (6.5.8) folgt, nach einigen kleineren Umformungen
i A a (t, ⃗x), P ∫
d = d 3 ⃗y ε d b c δ ab
⊥ (⃗x − ⃗y)Bc (t, ⃗y)
3
(6.5.10)
∫
(6.4.29)
= ε dac B c (t, ⃗x) − d 3 ⃗y ε d b c B c ∂ 2 1
(t, ⃗x)
3 ∂ y a ∂ y b 4π|⃗x − ⃗y| .
Zur Berechnung des verbleibenden Integrals führen wir eine partielle Integration bzgl. ∂ /∂ y b aus
und schreiben die Ableitung ∂ /∂ y a als −∂ /∂ x a . Diese Integration können wir zudem noch aus dem
Integral herausziehen. Weiter gilt
was nach den besagten Umformungen
∫
3 d 3 ⃗y ε d b c B c (t, ⃗x)
ε d b c B c (t, ⃗x) = ∂ d A b (t, ⃗x) − ∂ b A d (t, ⃗x), (6.5.11)
∂ 2 1
∂ y a ∂ y b 4π|⃗x − ⃗y| = ∂ ∫
d 3 ⃗y
∂ x a 3
1
4π|⃗x − ⃗y| ∆ ⃗y Ad (t, ⃗y) = −∂ a A d (t, ⃗x) (6.5.12)
liefert. Dabei haben wir wieder beachtet, daß −1/(4π|⃗x − ⃗y|) die Greensche Funktion des Laplace-Operators
und daß ⃗ ∇ · ⃗A = 0 ist. Verwenden wir schließlich nochmals (6.5.11) in (6.5.10) finden wir unter
Anwendung von (6.5.12)
i A a (t, ⃗x), P d = ∂ d A a (t, ⃗x). (6.5.13)
Dies in (6.5.6) eingesetzt ergibt schließlich
A ′a (t, ⃗x ′ ) = A a (t, ⃗x ′ ) + δa d ∂ d A a (t, ⃗x ′ ) = A a (t, ⃗x ′ + δ ⃗a) = A a (t, ⃗x), (6.5.14)
und dies entspricht genau der Behauptung (6.5.7).
Mit exakt denselben Schritten weist man nach, daß auch die zeitlichen Translationen und die Drehungen,
dargestellt durch die Operatoren
U t (t) = exp(itH), U D ( ⃗ϕ) = exp(−i ⃗ϕ · ⃗J) (6.5.15)
die von der klassischen Therie her zu erwartenden Transformationsregeln für infinitesimale Transformationen
(Übung!)
t ′ = t − δ t, ⃗x ′ = ⃗x, ⃗ A ′ (x ′ ) = ⃗ A(x) = ⃗ A(t ′ + δ t, ⃗x ′ ) = ⃗ A(t ′ , ⃗x ′ ) + δ t ˙⃗ A(t ′ , ⃗x ′ ), (6.5.16)
t ′ = t, ⃗x ′ = ⃗x − δ ⃗ϕ × ⃗x, ⃗ A(t ′ , ⃗x ′ ) = (1 3 − δ ⃗ϕ×) ⃗ A(t, ⃗x)
= ⃗ A(t ′ , ⃗x ′ ) − δ ⃗ϕ × ⃗ A(t ′ , ⃗x ′ ) + [(δ ⃗ϕ × ⃗x) · ⃗∇ ′ ⃗ A(t ′ , ⃗x ′ )]. (6.5.17)
Für die Boosts ergibt sich aufgrund der Eichfixierung eine Besonderheit.
Dies erkennen wir schon am klassischen Fall. Betrachten wir also zunächst ein klassisches quellenfreies
Vierervektorpotential A µ in der Strahlungseichung. Es gilt voraussetzungsgemäß ⃗ ∇· ⃗A = 0 und A 0 = 0.
Als Vierervektorfeld verhält es sich unter einem Boost wie folgt
A ′ µ (x ′ ) = Λ µ ν Aν (x), x ′ µ = Λ
µ
ν x ν . (6.5.18)
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