Quantentheorie II - FIAS

2.10 · Einteilchenzustände für Teilchen mit Spin s
der Zustand Ψ ′ S , t stets äquivalent zum Zustand |Ψ S , t〉 ist. Durch Ableitung von (2.9.2) nach der Zeit
finden wir unter Verwendung von (2.9.1) und der Annahme, daß diese Gleichung auch für Ψ ′ S , t mit
demselben Hamilton-Operator H s (t) zutrifft, daß U g genau dann Symmetrietransformation ist, wenn
1
U g ,H ∂ U g
+
i
∂ t
expl
= Ů g := 0 (2.9.3)
ist, wobei Ů g die physikalische Zeitableitung von U bedeutet. Da diese Gleichung bildunabhängig ist,
vgl. (1.9.13), stellt sie die gesuchte Symmetriebedingung dar.
Es ist ferner klar, daß dieselben Betrachtungen auch auf die infinitesimalen Erzeugenden der Einparameteruntergruppen
der Symmetriegruppe zutreffen. Ist nämlich α der entsprechende Parameter der
Einparameteruntergruppe und g der dazugehörige Generator, so gilt (im hier betrachteten Schrödingerbild)
U g (t) = exp[−iαg S
(t)], (2.9.4)
und somit
g S
(t) = ∂
∂ α U g (t) α=0
. (2.9.5)
Leiten wir dann Gleichung (2.9.3) nach α ab und beachten, daß im zweiten Term auf der linken Seite
die Ableitung nach α mit der expliziten Zeitableitung vertauscht werden kann, ergibt sich die bildunabhängige
Gleichung
˚g = 1 ∂ g
i [g,H] + = 0. (2.9.6)
∂ t expl
Dies ist aber das quantentheoretische Pendant zum klassischen Noethertheorem, besagt doch (2.9.6),
daß jeder Generator der Einparametersymmetriegrupe g notwendig eine Erhaltungsgröße ist, und umgekehrt
ist jede Erhaltungsgröße auch der Generator ein Einparametersymmetriegruppe des betrachteten
Systems.
2.10 Einteilchenzustände für Teilchen mit Spin s
Nun können wir eine vollständige Beschreibung für ein freies Teilchen mit beliebigem Spin angeben.
Die irreduzible Darstellung des Spins durch die Matrizen ˆD( φ) ⃗ aus Abschnitt 2.7 ist nämlich vollständig
durch die Spinbetragsquantenzahl s definiert.
Zunächst folgt aus dem im vorigen Abschnitt hergeleiteten Noether-Theorem und der Kommutatorrelation
(2.6.40), daß die Erzeugenden K j für Boosts explizit zeitabhängig sein müssen, denn es muß
˚K j = 1
K
i j ,H
∂ K j
∂ K j !
+ = p
∂ t
j
+
= 0. (2.10.1)
∂ t
Nun folgt aber aus (2.6.37)
und damit durch Integration von (2.10.1)
expl
expl
∂ P !
˚P j = = 0 (2.10.2)
∂ t expl
K j = mX j − P j t, (2.10.3)
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