Quantentheorie II - FIAS

6.6 · Das freie Dirac-Feld
d.h. S(Λ) ist pseudounitär. Es ist wichtig zu bemerken, daß S(Λ) nicht wirklich unitär ist. Dies weist
schon darauf hin, daß eine Einteilchenquantentheorie auf der Basis der Diracgleichung widersprüchlich
in sich selbst ist, denn in einer solchen Quantentheorie sollten alle eigentlich orthochronen Lorentztransformationen
unitär dargestellt werden. Dies ist aber nicht der Fall, wie wir nun zeigen wollen.
Betrachten wir zunächst einen Boost in der Richtung ⃗n (⃗n 2 = 1). Die entsprechende Matrix besitzt die
Form
coshη −⃗n t
sinhη
Λ(⃗η) =
(6.6.23)
−⃗n sinhη coshη P ‖ (⃗n) + P ⊥ (⃗n)
mit den Projektionsoperatoren (reelle 3 × 3-Matrizen)
P ‖ (⃗n) = ⃗n ⊗ ⃗n, P ⊥ = 1 3 − ⃗n ⊗ ⃗n. (6.6.24)
Die Boostgeschwindigkeit ist v = sinhη/coshη = tanhη. Entwickeln wir für ein infinitesimales δη
(6.6.23) bis zur ersten Ordnung, finden wir die Exponentialdarstellung
wobei
Für die infinitesimale Transformation ist
Λ B (⃗η) = exp(i⃗η · ⃗K) mit ⃗η = η⃗n, (6.6.25)
δ x 0 = −δ ⃗η · ⃗x, δ x j = −δη j x 0 ⇒ω ρ0 = −ω 0ρ =
0 ⃗e
K j t
j
= i . (6.6.26)
⃗e j 0
0 für ρ = 0,
η ρ für ρ ∈ {1,2,3},
ω 00 = ω j k = 0 für j , k ∈ {1,2,3}.
Um die Darstellungsmatrix S(Λ B ) zu finden, benötigen wir für die Boosts also
0 für µ = 0,
γ 0µ = γ 0 γ µ − γ µ γ 0 =
2γ 0 γ µ für µ ∈ {1,2,3}.
Damit wird
Unter Verwendung der Darstellung (6.6.6) ist
(6.6.27)
(6.6.28)
1
8 ω µν γ µν = 1 4 ω 0ρ γ 0ρ = − 1 2 γ 0 ⃗η · ⃗γ =: −i⃗η · ⃗κ. (6.6.29)
⃗κ = i 2 ⃗γγ0 = i 2
⃗σ 0
. (6.6.30)
0 −⃗σ
Es ist wichtig zu bemerken, daß diese Matrix antihermitesch und folglich die Darstellung der Boosts
S B [⃗η] =: S ⃗n (η) = exp(−iη⃗n · ⃗κ) (6.6.31)
nicht unitär ist 11 . Wir werden unten sehen, daß die Lorentztransformationen erst für die Quantenfeldtheorie
unitär realisiert werden. Wir können (6.6.31) explizit auswerten, denn es gilt
(i⃗n · ⃗κ) 2 = 1 4 (γ 0 ⃗n · ⃗γ) 2 = − 1 4 (⃗n · ⃗γ)2 = ⃗n2
4 . (6.6.32)
11 Die gruppentheoretische Analyse der Darstellungen der eigentlich orthochronen Lorentzgruppe zeigen, daß es keine
nichttrivialen endlichdimensionalen unitären Darstellungen der Lorentzgruppe bzw. der dazugehörigen Überlagerungsgruppe
SL(2,) gibt. Dies liegt daran, daß die Lorentzgruppe im Gegensatz zur Drehgruppe nicht kompakt ist. Die Drehgruppe
SO(3) bzw. deren Überlagerungsgruppe SU(2) ist hingegen kompakt, und wie wir gleich zeigen werden, wird die Drehgruppe
in der Tat durch unitäre Transformationen dargestellt.
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