Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 6 · Einführung in die relativistische Quantentheorie
Die stetig mit der Identität zusammenhängenden Lorentztransfomationen müssen also Λ 0 0 ≥ 1 erfüllen.
Wie wir weiter unten noch sehen werden, impliziert dies, daß für zeitartige Vektoren solche
Lorentz-Transformationen das Vorzeichen der Zeitkomponente ungeändert lassen. Diese Transformationen
bilden daher offenbar wieder eine Untergruppe, die orthochrone Lorentz-Gruppe O(1,3) ↑ .
Da offenbar die Raumspiegelung
( ˆP µ ν ) = diag(1,−1,−1,−1) (6.1.35)
offenbar orthochron ist aber offenbar det ˆP = −1 gilt, enthält O(1,3) ↑ noch Transformationen, die
nicht stetig aus der Identität hervorgehen können.
Die stetig mit der Identität zusammenhängenden Lorentztransformationen erweisen sich nun als genau
die Lorentztransformationen die zugleich
detΛ = +1, Λ 0 0 ≥ 1 (6.1.36)
erfüllen. Dies sind die eigentlich orthochronen Lorentz-Transformationen. Als die Schnittmenge
O(1,3) ↑ ∩SO(1,3) bilden sie ebenfalls eine Untergruppe, die man als eigentlich orthochrone Lorentz-
Gruppe SO(1,3) ↑ bezeichnet.
Die Lorentz-Invarianz einer physikalischen Theorie sollte genauer als Invarianz unter der Transformationsgruppe
SO(1,3) ↑ verstanden werden. In der Tat zeigt sich, daß die schwache Wechselwirkung
sowohl die Symmetrie unter Raumspiegelungen als auch (mit großer Wahrscheinlichkeit) der Zeitumkehr
verletzt (s. z.B. [Nac86]), so daß nur SO(1,3) ↑ eine Symmetriegruppe der Natur ist, nicht aber
ganze O(1,3) oder die anderen genannten größeren Untergruppen SO(1,3) bzw. O(1,3) ↑ .
6.2 Das klassische Teilchenbild
In diesem Abschnitt wollen wir die eben besprochenen mehr mathematischen Begriffsbildungen auf
einfachste physikalische Sachverhalte von Teilchen im Rahmen einer klassischen Punktteilchenbehandlung
anwenden, indem wir Stoßprozesse betrachten. Dies wird uns als Anschauungsbeispiel bei der
Entwicklung der entsprechenden quantentheoretischen Begriffe noch gute Dienste leisten.
6.2.1 Die relativistische Kinematik freier Punktteilchen
Prinzipiell kann die Formulierung der relativistischen Mechanik eines Punktteilchens nach Wahl eines
beliebigen Inertialsystems genau wie die Newtonsche Mechanik durch die Beschreibung der Bahnen
im dreidimensionalen Euklidischen Raum des durch dieses Inertialsystem definierten Beobachters
erfolgen. Dies ist aber insbesondere zur Formulierung grundlegender Naturgesetze nicht besonders
bequem. Es empfiehlt sich hingegen, die Kinematik und Dynamik der Punktteilchen im vierdimensionalen
Minkowskiraum zu betrachten.
Wir beschreiben also die Bewegung eines Teilchens als Trajektorie im vierdimensionalen Minkowskiraum,
d.h. wir führen einen beliebigen Parameter λ für diese Weltlinie des Teilchens ein: x µ = x µ (λ).
Spezialisieren wir nun diese Beschreibung auf ein bestimmtes Inertialsystem, muß sich dieselbe Trajektorie
auch umkehrbar eindeutig mit Hilfe der dazugehörigen Koordinatenzeit t = x 0 angeben lassen.
Dies ist die schwächste Forderung an ein Kausalgesetz. Das bedeutet, daß die Trajektorie die Bedingung
dx 0 (λ)
dλ
= dt
dλ > 0 (6.2.1)
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