Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 6 · Einführung in die relativistische Quantentheorie
Feldmoden (6.7.3) folgt (Übung!)
∫
d 3 ⃗x u ∗ (x)u
⃗ ⃗k (x) = 1
k,+
3 ′ ,+
2E( k) ⃗ δ (3) ( k ⃗ − k ⃗ ′ ), (6.7.16)
∫
d 3 ⃗x u ∗ (x)u ∗
k,+ ⃗ ⃗ (x) = 1
k
3 ′ ,+
2E( k) ⃗ exp(2iE t)δ (3) ( k ⃗ + k ⃗ ′ ). (6.7.17)
Multiplizieren wir also die Modenentwicklung (6.7.4) mit u ⃗k,+ (x) bzw. mit u ∗ ⃗ k,+
(x) und wenden
(6.7.14) und (6.7.15) an, erhalten wir
∫
a( k,σ) ⃗ = d 3 ⃗x u † ( k,σ)u ⃗ ∗ (x)ψ(x),
k,+ ⃗
∫
3
b( k,σ) ⃗ = d 3 ⃗x ψ † (x)v( k,σ)u ⃗ ∗ (x).
k,σ ⃗
3
(6.7.18)
Mit Hilfe der Antikommutatorrelationen für die Felder (6.7.1) und der Orthogonalitätsrelationen (6.7.14-
6.7.15) erhalten wir daraus die Antikommutatorrelationen für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
a( ⃗ k,σ),a † ( ⃗ k ′ ,σ ′ ) = b( ⃗ k,σ),b † ( ⃗ k ′ ,σ ′ ) = δ (3) ( ⃗ k − ⃗ k ′ )δ σσ ′,
a( ⃗ k,σ),a( ⃗ k ′ ,σ ′ ) = b( ⃗ k,σ),b( ⃗ k ′ ,σ ′ ) = 0,
(6.7.19)
a( ⃗ k,σ),b( ⃗ k ′ ,σ ′ ) = a( ⃗ k,σ),b † ( ⃗ k ′ ,σ ′ ) = 0.
Zur Berechnung des Hamiltonoperators müssen wir, wie oben beim elektromagnetischen Feld, die
Hamiltondichte normalordnen. Dabei ist zu beachten, daß wir diesmal die fermionischen Antikommutatorregeln
zu berücksichtigen haben, d.h. es gilt z.B.
: a( ⃗ k,σ)a † ( ⃗ k ′ ,σ ′ ) := −a † ( ⃗ k ′ ,σ ′ )a( ⃗ k,σ), (6.7.20)
d.h. der normalgeordnete Ausdruck erhält zusätzlich das Vorzeichen der Permutation, die nötig ist, um
die Normalordnung aus der ursprünglichen Operatoranordnung herzustellen.
Für die Lösung der Feldgleichungen lautet die Hamiltondichte gemäß (6.6.57)
=: ψ(−iγ · ⃗∇ + m)ψ :=: ψ(iγ 0 ∂ t − i /∂ + m)ψ(x) :=: ψ † i∂ t ψ : . (6.7.21)
In diese Gleichung die Modenentwicklung (6.7.4) eingesetzt, über ⃗x integriert und die Orthogonalitätsbeziehungen
(6.7.14-6.7.15) angewandt, liefert dann den positiv semidefiniten Hamiltonoperator
∫ ∫
H = d 3 ⃗x = d 3⃗ k ∑ E( k) ⃗ n a ( k,σ) ⃗ + n b ( k,σ) ⃗ . (6.7.22)
V
3 σ
Ebenso findet man den Ladungsoperator gemäß (6.6.54)
∫
∫
Q = d 3 ⃗x : ψ † ψ := d 3⃗ k ∑
na ( k,σ) ⃗ − n b ( k,σ) ⃗ . (6.7.23)
V
3 σ
Man beachte, daß wegen der fermionischen Normalordnungsvorschrift Q nicht positiv definit ist, wie
es der hermitesche Ausdruck unter dem Normalordnungssymbol suggeriert. Es ist also wieder nicht
212