Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 6 · Einführung in die relativistische Quantentheorie
wobei n µ ein von 0 verschiedener Vierervektor ist. Je nach Wahl eines zeit- oder raumartigen Vektors
nennt man eine solche Eichbedingung eine zeit- bzw. raumartige Eichbedingung. Wie wir im nächsten
Abschnitt sehen werden, ist eine natürliche Wahl (n µ ) = (1,0,0,0). Dann verlangen wir also A 0 = Φ = 0.
Diese Wahl nennt man in der Literatur auch die Strahlungseichung. Zusammen mit (6.3.32) folgt
daraus, daß in dieser Eichung auch
div ⃗ A = 0 (6.3.34)
gilt.
Schreiben wir nun das verbliebene Dreierpotential in Form eines Fourierintegrals
∫
⃗A(t, ⃗x) =
3
d 3⃗ k
(2π) 3 2ω( k) ⃗
⃗a(t, ⃗ k)exp(i ⃗ k ⃗x) mit ω( ⃗ k) = | ⃗ k|, (6.3.35)
folgt für die Komponenten 5 (∂ 2
t + ⃗ k 2 )⃗a = 0, (6.3.36)
also
⃗a(t, ⃗ k) = ⃗a 1 ( ⃗ k)exp[−iω( ⃗ k)t] + ⃗a 2 ( ⃗ k)exp[+iω( ⃗ k)t] mit ω( ⃗ k) = | ⃗ k|. (6.3.37)
Die Nebenbedingung (6.3.34) verlangt dann nur noch
⃗k · ⃗a j ( ⃗ k) = 0. (6.3.38)
Seien also ⃗ε( ⃗ k,α) mit α ∈ {1,2} zwei zu ⃗ k senkrechte voneinander linear unabhängige reelle Polarisationsvektoren,
so ist die allgemeine Lösung der quellenfreien Maxwellgleichungen (in Strahlungseichung)
also durch (6.3.35) mit
⃗a(t, ⃗ k) =
2∑
⃗ε( k,α) ⃗ A 1,α ( k)exp[−iω( ⃗ k)t ⃗ + ik ⃗ ⃗x] + A 2,α ( k)exp[+iω( ⃗ k)t ⃗ + ik ⃗ ⃗x] (6.3.39)
α=1
gegeben. Für das folgende ist es bequem, diese Vektoren zueinander orthogonal zu wählen, und zwar
so, daß für α ∈ {1,2}
⃗ε( ⃗ k,α) · ⃗ε(± ⃗ k,α ′ ) = (±1) α δ αα ′ (6.3.40)
und
⃗ε( k,1) ⃗ × ⃗ε( k,2) ⃗ ⃗k
=
| k| ⃗ := ˆ⃗ k, ⃗ε(−k,α) ⃗ = (−1) α ⃗ε(+ k,α) ⃗ (6.3.41)
ist. Wählen wir also willkürlich zu vorgegebenem ⃗ k die Vektoren ⃗ε( ⃗ k,2) = ⃗ε(− ⃗ k,2) ⊥ ⃗ k. Setzen wir
dann
⃗ε( ⃗ k,1) = ⃗ε( ⃗ k,2) × ˆ⃗ k, (6.3.42)
so erfüllen die so definierten Polarisationsvektoren die Bedingungen (6.3.40) und (6.3.41) (Übung!).
Jedenfalls zeigt (6.3.39), daß nur zwei der ursprünglich vier Komponenten des Viererpotentials physikalisch
sind: nämlich zwei voneinander linear unabhängige transversal polarisierten Wellen. Um
5 Der Sinn für die spezifische Wahl des Integralmaßes wird sogleich noch deutlich werden.
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