Quantentheorie II - FIAS

1.4 · Verträglichkeit von Observablen
für genau einen Eigenwert a k ist. Für alle anderen Eigenwerte a k ′ muß dann außerdem w ψ (a k ′) = 0
sein, und nur genau in diesem Falle besitzt die Observable A aufgrund der Präparation des Systems
im Zustand |ψ〉 den wohlbestimmten Wert a k . Es muß also |ψ〉 tatsächlich ein Eigenvektor zu diesem
Meßwert a k sein.
In dem Fall, daß a k ein entarteter Eigenwert ist, d.h. wenn es mehrere linear unabhängige Eigenvektoren
zu diesem Eigenwert gibt, genügt eine Festlegung der Observablen A auf diesen Wert nicht, um
den Zustand eindeutig festzulegen, und wir müssen eine weitere Observable B messen, um den Zustand
genauer zu bestimmen. Dabei müssen wir allerdings darauf achten, daß diese Messung mit der Festlegung
des Meßwertes der Observablen A kompatibel ist. Es muß also für jeden möglichen Meßwert a k
der Observablen A und jeden möglichen Meßwert b l der Observablen B wenigstens ein gemeinsamer
Eigenvektor der dazugehörigen Operatoren A und B existieren. Nehmen wir also an, daß dies der Fall
ist und bezeichnen diese gemeinsamen Eigenvektoren mit |a k , b l ,β m 〉, wobei β m wieder die, bei einer
möglicherweise immer noch bestehenden Entartung dieser gemeinsamen Eigenwerte, zueinander orthonormiert
gewählten Eigenvektoren durchnumeriert. Wir wollen nun herausfinden, was dies für die
Operatoren A und B bedeutet.
Dazu bemerken wir, daß wir wegen der Vollständigkeit der gemeinsamen Eigenvektoren
A = ∑ A|a k , b l ,β m 〉〈a k , b l ,β m | = ∑ a k |a k , b l ,β m 〉〈a k , b l ,β m |,
k l m
k l m
B = ∑ B |a k , b l ,β m 〉〈a k , b l ,β m | = ∑ b l |a k , b l ,β m 〉〈a k , b l ,β m |.
k l m
k l m
(1.4.5)
schreiben können. Das bedeutet aber
AB = ∑ ∑
a k b l ′ |a k , b l ,β m 〉〈a k , b l ,β m | a k ′, b l ′,β m ′ 〉〈a } {{ } k ′, b l ′,β m ′|
k l m k ′ l ′ m ′
= ∑ k l m
a k b l |a k , b l ,β m 〉〈a k b l ,β m | = BA.
δ kk ′ δ l l ′δ mm ′
(1.4.6)
Die Reihenfolge der Operatormultiplikation ist in diesem Fall also unerheblich, d.h. die Operatoren
kommutieren. Definieren wir also den Kommutator zweier beliebiger Operatoren A und B vermöge
[A, B] := AB − BA, (1.4.7)
bedeutet unsere obige Rechnung, daß es für das Vorliegen eines vollständigen Orthonormalsystems von
gemeinsamen Eigenvektoren zweier selbstadjungierter Operatoren notwendig ist, daß der Kommutator
dieser Operatoren verschwindet:
[A, B] = 0. (1.4.8)
Man kann zeigen, daß diese Bedingung auch hinreichend ist.
Um nun also den Zustand des Systems |ψ〉 vollständig festzulegen, müssen wir die Werte eines vollständigen
Satzes voneinander unabhängiger miteinander kompatibler Observabler A, B, C ,...
bestimmen. Dabei heißt ein Satz von Observablen kompatibel, wenn die dazugehörigen selbstadjungierten
Operatoren untereinander kommutieren, so daß ein vollständiges Orthonormalsystem von
simultanen Eigenzuständen dieser Operatoren existiert. Ein Satz solcher kompatibler Observabler
heißt vollständig, wenn es zu allen möglichen Tupeln von Eigenwerten (a, b, c,...) genau einen linear
unabhängigen simultanen Eigenvektor gibt. Die Unabhängigkeit der Observablen bedeuetet,
daß nicht ein Operator Z in dem Satz als Funktion der übrigen Operatoren geschrieben werden kann,
d.h. Z ≠ f (A, B,..., Y).
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