Quantentheorie II - FIAS

6.9 · Die diskreten Symmetrietransformationen P, C und T
folgt unmittelbar aus der Relation (6.8.9) und den Kommutatorregeln zu gleichen Zeiten sowie der
soeben nachgewiesenen Lorentzkovarianz dieser Ausdrücke. Da kommutierende Observablen kommutierende,
also unabhängig voneinander wohldefinierte Werte annehmen können, bedeutet dies, daß
Messungen, die auf eine Umgebung in Raum und Zeit beschränkt sind (also sog. lokale Messungen),
keine Auswirkungen auf andere lokale Messungen, die in einem raumartig dazu gelegenen Raumzeitbereich
stattfinden, haben können. Es können also insbesondere auch keine Informationen überlichtschnell
ausgetauscht werden, wie es dem relativistischen Kausalitätsprinzip entspricht. Man bezeichnet
die Vertauschbarkeit lokaler Observablen auf raumartigen Raumzeitabständen daher auch als Mikrokausalität.
Die Diracfelder ergeben also eine lokale, mikrokausale Quantenfeldtheorie mit positiv
semidefinitem Hamiltonoperator und besitzt somit eine physikalisch sinnvolle Bedeutung im Sinne
der Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantentheorie. Dies ist, wie schon mehrfach
betont, für eine Einteilcheninterpretation des unquantisierten Dirac-Feldes für den Fall wechselwirkender
Teilchen nicht möglich. In der Tat zeigt sich, daß bei relativistischen Streuprozessen neue Teilchen
erzeugt und vernichtet werden können, und daher erweist sich die Quantenfeldtheorie als die (bislang
einzige) adäquate Beschreibung relativistischer Streuprozesse.
6.9 Die diskreten Symmetrietransformationen P, C und T
In diesem Abschnitt betrachten wir die diskreten Symmetrietransformationen der räumlichen Spiegelung
(Parität) P, der Ladungskonjugation (Vertauschen aller Teilchen mit ihren jeweiligen Antiteilchen)
C und der Zeitumkehr oder Zeitspiegelung für Dirac-Teilchen. Es wird sich herausstellen,
daß die Zeitumkehrtransformation antiunitär realisiert werden muß.
Wir bemerken noch, daß die schwache Wechselwirkung die einzelnen Symmetrietranformationen C ,
P und T ebenso wie die kombinierte Transformation C P verletzt. Allerdings kann man zeigen, daß
jede lokale, mikrokausale Quantenfeldtheorie mit stabilem Grundzustand invariant unter der kombinierten
Transformation C PT sein muß. Bislang gibt es keine Hinweise einer Verletzung dieser C PT -
Invarianz. Der Beweis geht auf Pauli und Lüders zurück (für eine ausführliche Darstellung vgl. [SW64]).
6.9.1 Raumspiegelungen
Nach dem Wigner-Theorem muß bei diskreten Symmetrietransformationen untersucht werden, ob
die Transformationen als unitärer oder antiunitärer Operator realisiert werden müssen. Dies läßt sich
am einfachsten an der Heisenbergalgebra von Orts- und Impulsoperatoren untersuchen. Da wir uns
hier nur mit massiven oder masselosen Diracteilchen beschäftigen, ist dies auch im relativistischen Kontext
unproblematisch, da für solche Felder sowohl ein Orts- als auch ein Impulsoperator existiert, die
die Heisenberg-Kommutatorrelationen erfüllen.
Die Raumspiegelung sollte folgendermaßen auf Orts- und Impulsoperatoren operieren:
⃗x ′ = U(P)⃗xU † (P) = −⃗x, ⃗p ′ = U(P)⃗pU † (P) = −⃗p. (6.9.1)
Die Kommutatorrelationen transformieren sich gemäß
x
′
i ,p′ j
=
−xi ,−p j
=
xi ,p j
!
= iδ i j . (6.9.2)
Andererseits muß sich dies aus der kanonischen Kommutatorrelation für x und p durch die Ähnlichkeitstransformation
mit U(P) ergeben:
x
′
i ,p′ j
= U(P)
xi ,p j
U † (P) = U(P)iδ i j U † (P) = ±iδ i j , (6.9.3)
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