Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 6 · Einführung in die relativistische Quantentheorie
Alternativ können wir aber wegen (6.9.10) auch
ψ T
(t, ⃗x) = η T η ∗ C Ŝ(T )Ŝ−1 (C )ψ C
(−t, ⃗x) (6.9.25)
schreiben. Da sich ψ C
von ψ nur um eine unitäre Transformation unterscheidet, können wir die Zeitumkehrtransformation
auch mit dem Ansatz
realisieren. Offenbar ist bis auf eine Phase η
Die Standardwahl der Phase ist η = i, d.h.
ψ T
(t, ⃗x) = η ′ T Ŝ′ (T )ψ(−t, ⃗x) (6.9.26)
Ŝ ′ (T ) = ηŜ(T )Ŝ−1 (C ) = ηγ 5 iγ 0 γ 2 = ηγ 1 γ 3 . (6.9.27)
Ŝ ′ (T ) = iγ 1 γ 3 = Ŝ′−1 (T ). (6.9.28)
Setzt man (6.9.26) in die Bewegungsgleichung (6.9.19) des Operators ψ T
(t, ⃗x) ein, erhalten wir durch
Vergleich mit der Diracgleichung, die voraussetzungsgemäß für ψ(t, ⃗x) gilt, die Bedingungen
Ŝ ′−1 (T )(γ 0 ) ∗ Ŝ ′ (T ) = γ 0 , Ŝ ′−1 (T )⃗γ ∗ Ŝ ′ (T ) = −⃗γ. (6.9.29)
In der Dirac-Darstellung und der chiralen Darstellung der Diracmatrizen sind γ 0 , γ 1 und γ 3 reell und
γ 2 rein imaginär, d.h. wir können (6.9.29) in der Form
Ŝ ′−1 (T )γ µ Ŝ ′ (T ) = (−1) µ γ µ = (γ µ ) t . (6.9.30)
schreiben. Man weist durch direkte Rechnung nach, daß (6.9.28) in der Tat diese Bedingungen erfüllt.
Alternativ können wir auch das konjugiert Komplexe von (6.9.29) bilden. Wegen [Ŝ′ (T )] ∗ = −Ŝ′ (T )
ergibt sich für diese Beziehungen dann die Form
Ŝ ′−1 (T )γ 0 Ŝ ′ (T ) = (γ 0 ) ∗ , Ŝ −1 (T )⃗γ Ŝ′ (T ) = −⃗γ ∗ ⇒ Ŝ′−1 (T )γ µ Ŝ ′ (T ) = P µ ν (γ ν ) ∗ (6.9.31)
mit dem Raumspiegelungsoperator (P µ ν ) = diag(1,−1,−1,−1).
6.9.4 Sesquilinearformen der Diracfelder
Für die Modellbildung für Wechselwirkungen sind die Kombinationen ¯ψΓ ψ wichtig, wobei Γ irgendwelche
4 × 4-Matrizen sein können. Solche bilinearen Formen können nämlich in der Wechselwirkungslagrangedichte
mit anderen Feldern geeigneten Wechselwirkungstermen zusammengesetzt werden.
Dabei ist aber noch die relativistische Invarianz, also die Invarianz unter eigentliche orthochronen
Lorentztransformationen sowie evtl. unter den oben besprochenen diskreten Transformationen wichtig.
Aus dem in Abschnitt 6.8 besprochenen Transformationsverhalten der Feldoperatoren und wegen (6.6.13)
folgt sofort, daß
S = ψψ (6.9.32)
ein Skalarfeld unter eigentlich orthochronen Lorentztransformationen ist. Wegen (6.9.9) ist es auch
ein Skalarfeld bzgl. Raumspiegelungen.
218