Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 4 · Vielteilchensysteme aus freien Teilchen
Entsprechend folgt (Übung!)
δL
δ ˙ψ σ (t, ⃗x) = ∂
∂ ˙ψ
. (4.3.51)
σ
Wieder analog zur klassischen Mechanik führen wir die kanonisch konjugierten Feldimpulse
Π σ (t, ⃗x) = δL
δ ˙ψ σ
= ∂
∂ ˙ψ σ
= iψ ∗ σ ,
δL
Π∗ σ (t, ⃗x) =
δ ˙ψ ∗ σ
= ∂
∂ ˙ψ ∗ σ
= 0, (4.3.52)
ein. Die Hamiltonfunktion folgt dann als funktionale Legendretransformation:
∫
H[ψ,ψ ∗ ,Π,Π ∗ ] = d 3 ⃗x Π σ
˙ψσ + Π ∗ ˙ψ
∫
σ ∗ σ − L = d 3 ⃗x (Π,Π ∗ ,ψ,ψ ∗ , ∇ψ, ⃗ ∇ψ ⃗ ∗ ). (4.3.53)
3 3
Die Hamilton-Dichte ist also durch
gegeben. Mit der Lagrangedichte (4.3.44) für die Pauli-Gleichung folgt
und (Übung)
= Π σ
˙ψσ + Π ∗ σ ˙ψ ∗ σ − (4.3.54)
Π σ = iψ ∗ , (4.3.55)
= 1
2mi [( ∇ ⃗ + iqA)Π ⃗ σ ] · [( ∇ ⃗ − iqA)ψ ⃗ σ ] + Φ i Π σ ψ σ − g s µ B
Π
2i σ ( B ⃗ · ⃗σ σσ ′)ψ σ ′. (4.3.56)
Es ist leicht zu zeigen, daß die Hamiltonschen kanonischen Feldgleichungen
˙ψ σ = δH = ∂ ∂
− ∇ ·
δΠ σ ∂ Π σ ∂ ( ∇Π ⃗ σ ) ,
⎡
⎤
˙Π σ = − δH = −⎣ ∂ ∂
− ∇ ·
δψ σ ∂ ψ σ ∂ ( ∇ψ ⃗ ⎦
σ )
(4.3.57)
für ψ wieder auf die Pauli-Gleichung (4.3.47) und für Π auf die konjugiert komplexe Pauli-Gleichung
führen (Übung!). Wie in der klassischen Mechanik ist also die Hamilton-Formulierung äquivalent zur
Lagrange-Formulierung des Hamiltonschen Prinzips der kleinsten Wirkung.
Im hier vorliegenden Falle folgt der Zusammenhang (4.3.55) zwischen kanonischen Feldimpulsen und
Feldern nicht aus den Hamiltonschen kanonischen Feldgleichungen, weil die Lagrange-Dichte linear in
˙ψ und entsprechend die Hamilton-Dichte linear in Π ist. Da allerdings die kanonische Feldgleichung
für Π gerade die konjugiert komplexe Pauli-Gleichung für ψ ∗ erfüllt, können wir (4.3.55) als Nebenbedingung
voraussetzen.
Wie in der klassischen Mechanik können wir vermöge
∫
{A, B} pb
= d 3 δA
⃗x
3 δψ σ (t, ⃗x)
δB
δΠ σ (t, ⃗x) − δA δB
δΠ σ (t, ⃗x) δψ σ (t, ⃗x)
122
(4.3.58)