Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 4 · Vielteilchensysteme aus freien Teilchen
4.4 Fockräume freier Bosonen und Fermionen
In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns ausführlich mit der Beschreibung von Vielteilchensystemen,
die aus nichtwechselwirkenden Teilchen bestehen, die auch keinem äußeren Potential ausgesetzt sind.
Dies dient nicht nur der Einübung der oben entwickelten quantenfeldtheoretischen Vielteilchenrechentechnik
im Fock-Raumformalismus sondern bildet auch eine wichtige Grundlage für das Studium
wechselwirkender Vielteilchensysteme im Rahmen der Störungstheorie, womit wir uns im nächsten
Kapitel beschäftigen wollen. Dies wird uns auf die ungemein schlagkräftige Methode der Feynman-
Diagramme führen. Als eine erste Anwendung der Vielteilchenmethoden werden wir aber auch die
Thermodynamik idealer Quantengase behandeln.
Wir betrachten zunächst wieder Bosonen und Fermionen zusammen. Wir arbeiten von nun an im Heisenberg-Bild
und lassen im folgenden die Indizes H an den Operatoren und Zuständen weg, ebenso
wie die Bezeichnung „Fock“ an den Operatoren. Fettgedruckte Symbole stehen im folgenden stets für
Operatoren im Fockraum. Differentialoperatoren im Sinne der „ersten Quantisierung“ kennzeichnen
wir mit einem Dach über dem Symbol.
Der Hamiltonoperator für freie Teilchen lautet gemäß (4.3.22)
∫
H = dξ ψ † (t,ξ ) − ∆
ψ(t,ξ ), (4.4.1)
2m
und die Bewegungsgleichung ist wegen (4.3.37) die Schrödingergleichung für ein freies Teilchen
i ∂
∂ t ψ(t,ξ ) = − ∆
ψ(t,ξ ). (4.4.2)
2m
Wie wir gleich sehen werden, empfiehlt es sich, die Teilchen zunächst in einem endlichen Volumen
zu betrachten. Dazu wählen wir einen Würfel der Kantenlänge L. Da wir an Randeffekten nicht interessiert
sind und schließlich an geeigneter Stelle unserer Rechnungen zum Limes L → ∞ übergehen
wollen, können wir die Randbedingungen bequem wählen. Besonders einfach sind periodische Randbedingungen
ψ(t, ⃗x + L⃗n,σ) = ψ(t, ⃗x) für alle ⃗n ∈ 3 . (4.4.3)
Die Lösungen der Feldgleichungen (4.4.2) lassen sich nun nach den ebenen Wellen
u ⃗p,σ (t, ⃗x) = 1
V
3 exp −i[E(⃗p)t − ⃗p · ⃗x)] χ σ (4.4.4)
entwickeln. Dabei ist χ σ der Spaltenspinor bzgl. der Eigenbasis zu σ z
zu den Eigenwerten σ mit σ ∈
{−s,−s + 1,..., s − 1, s}.
Damit die periodische Randbedingung (4.4.3) erfüllt ist, muß offenbar
⃗p = 2π L ⃗n mit ⃗n ∈ 3 (4.4.5)
erfüllt sein. Die Normierung der Moden (4.4.4) ist so gewählt, daß
∫
d 3
x u ⃗p,σ (t, ⃗x) 2 = 1 (4.4.6)
V
ist. Damit die Bewegungsgleichung (4.4.2) erfüllt ist, muß die Dispersionsrelation
E(⃗p) = ⃗p2
2m
(4.4.7)
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