Quantentheorie II - FIAS

1.13 · Die Zeitentwicklung in einem beliebigen Bild (Dirac-Bild)
Setzen wir dies auf der linken Seite von (1.12.11) ein und schreiben die δ-Distribution auf der rechten
Seite ebenfalls als Fourierintegral,
∫
δ(t − t ′ )δ (3) (⃗x − ⃗x ′ d 4
p
) =
(2πħh) exp −i p 0 (t − t ′ ) − ⃗p · (⃗x − ⃗x ′
)
, (1.12.15)
4 ħh
erhalten wir durch Vergleich der Fourierintegrale
4
˜G( p 0 , ⃗p) =
1
p 0 − E(⃗p)
mit
E(⃗p) = ⃗p2
2m . (1.12.16)
Hierbei tritt nun bei der Transformation (1.12.14) in den t, ⃗r -Bereich das charakteristische Problem des
Pols bei p 0 = E(⃗p) auf. Dies läßt sich dadurch beheben, daß man den reellen Integrationsbereich für p 0
ein wenig in die komplexe p 0 -Ebene deformiert. Dabei ist darauf zu achten, daß die Randbedingung
(1.12.13) erfüllt wird. Aufgrund der Exponentialfunktion in (1.12.14) können wir den Residuensatz
anwenden, indem wir den Integrationsweg durch einen sehr großen Halbkreis im Unendlichen schließen,
und zwar in der oberen (unteren) Halbebene für t < t ′ (t > t ′ ). Wir müssen mit unserem Integrationsweg
den Pol also so umlaufen, daß dieser beim Schließen in der oberen Halbebene für t < t ′ nicht
in dem vom Integrationsweg umschlossenen Gebiet liegt (vgl. Abb. 1.1), denn dann verschwindet das
Integral wegen des Cauchyschen Integralsatzes, wie von der Randbedingung (1.12.13) gefordert. Alternativ
können wir auch einen kleinen positiven Imaginärteil zum Nenner addieren und diesen nach der
p 0 -Integration gegen 0 gehen lassen. Das schreiben wir im Sinne von Distributionen in der Form
˜G ret ( p 0 , ⃗p) =
1
p 0 − E(⃗p) + i0 + . (1.12.17)
Dann liegt der Pol p (Pol)
0
= E(⃗p)−i0 + nämlich in der unteren Halbebene und dies hat denselben Effekt
wie die Deformation des Integrationsweges gemäß Abb. 1.1, wenn wir wieder den ursprünglichen reellen
Integrationsweg wählen und diesen in der oberen bzw. unteren Halbebene durch einen unendlich
großen Halbkreis schließen. Wir haben jetzt diese Greensche Funktion genauer mit ˜G ret bezeichnet,
denn es handelt sich wegen der Randbedingung (1.12.13) offensichtlich um die retardierte Greensche
Funktion der Schrödingergleichung für ein freies Teilchen.
Führen wir nun in (1.12.14) nur die p 0 -Integration mit (1.12.17) für ˜G aus, erhalten wir die Darstellung
der retardierten Greenschen Funktion als Funktion der Zeiten t, t ′ und ⃗p, die sog. Mills-Darstellung:
∫ ∞
G ret ′ (t, t ′ ; ⃗p) =
−∞
d p 0
(2πħh)
1
p 0 − E(⃗p) + i0 exp −i p 0 (t − t ′
)
. (1.12.18)
+ ħh
Wir können dieses Integral mit Hilfe des Residuensatzes auswerten, indem wir die Integrationswege
wie in Abb. 1.1 (rechts) eingezeichnet schließen. Dann folgt
G ret ′ (t, t ′ ; ⃗p) = Θ(t − t ′
)
exp − i
iħh ħh E(⃗p)(t − t ′ ) . (1.12.19)
1.13 Die Zeitentwicklung in einem beliebigen Bild (Dirac-Bild)
Wir wenden uns nun der Formulierung der Bewegungsgleichungen für die Zustandsvektoren und
Observablenoperatoren in einem beliebigen Bild der Zeitentwicklung zu. Stellen wir die Bewegungsgleichungen
nochmals übersichtlich zusammen, ohne vom Schrödinger-Bild auszugehen (wie in Abschnitt
1.9). Die physikalische Zeitentwicklung ist durch den Hamiltonoperator des Systems gegeben,
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