Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 2 · Galilei-Symmetrie
repräsentiert wird (Zahlenwert aus [Nak10]). Es ist dabei zu beachten, daß für ein Elektron der negative
Wert q e = −e mit der Elementarladung
e = 1.602176487(40) · 10 −19 C (SI-Einheiten) (2.11.27)
zu verwenden ist. In unseren natürlichen Einheiten, wo das modifizierte Wirkungsquantum ħh = 1 und
die Lichtgeschwindigkeit c = 1 gesetzt sind, und in den ebenfalls in diesem Skript verwendeten Heaviside-Lorentz-Einheiten
(HL-Einheiten) der Elektrodynamik ist e eine dimensionslose Variable, die
sich aus der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante
α = e2
4π = 1
137.035999679(94)
(HL-Einheiten) (2.11.28)
ergibt. In SI-Einheiten ist
e2
α =
4πε 0 ħhc
(SI-Einheiten). (2.11.29)
Man kann übrigens leicht zwischen natürlichen Einheiten und SI-Einheiten hin- und herrechnen, indem
man den Konversionsfaktor
ħhc = 197.3269631(49) MeV fm (2.11.30)
verwendet. Außerdem ist in HL-Einheiten ε 0 = µ 0 = 1 zu setzen.
Der Parameter g s in (2.11.25) heißt Gyrofaktor und ist (ähnlich wie die elektrische Ladung) eine für das
Teilchen charakteristische Größe. Für Elementarteilchen ergibt sich aus dem Prinzip der minimalen
Kopplung an elektromagnetische Felder der Gyrofaktor 2, wobei dies allerdings in der hier gezeigten
nichtrelativistischen Behandlung nicht allzu zwingend erscheint, weil wir ja die minimale Kopplung in
der spezifischen Weise mit den in den Hamiltonoperator freier Teilchen eingeschobenen Pauli-Matrizen
(2.11.14) vornehmen mußten. Würden wir die minimale Kopplung einfach mit dem Hamiltonoperator
⃗p 2 /(2m) vornehmen, erhielten wir ein verschwindendes magnetisches Moment, also g s = 0. In der
relativistischen Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen vermöge der Dirac-Gleichung führt das Prinzip
der minimalen Kopplung zwingend auf g s = 2 für elementare Teilchen. Dies war (neben der Vorhersage
der Existenz von Antiteilchen) einer der größten Erfolge der Dirac-Gleichung.
Man bezeichnet die in (2.11.26) definierte Größe µ B als das Bohrsche Magneton. Es wurde von Bohr
in seinem Atommodell, basierend auf der von ihm entwickelten „alten Quantentheorie“, bei dem Versuch,
die Aufspaltung der Spektrallinien bei Atomen in magnetischen Feldern zu erklären, (Zeeman-
Effekt) eingeführt. Während die klassische Elektronentheorie von Lorentz eine kontinuierliche Aufspaltung
der Spektrallinien ergab, konnte Bohr den sog. anomalen Zeemaneffekt erklären, der auf
der Quantelung des Bahndrehimpulses beruht. Dies werden wir gleich noch näher ausführen. Die allerdings
ebenfalls beobachtete Aufspaltung in nur 2 (statt mindestens 3 aufgrund der Quantelung des
Bahndrehimpulses) konnte nur durch Einführung des Elektronenspins erklärt werden, die schließlich
durch Goudsmith und Uhlenbeck erfolgte, nachdem Kramers von Pauli überzeugt worden war, diese
Idee besser nicht zu veröffentlichen. Der Hamilton-Operator (2.11.25) wurde schließlich von Pauli
vorgeschlagen, nachdem er schließlich doch von der Korrektheit des Spins zur Spinquantenzahl 1/2
überzeugt werden konnte. Die Schrödinger-Gleichung mit dem Hamilton-Operator (2.11.25) für die
zweikomponentige Weyl-Spinor-Wellenfunktion,
i ∂ 1
ψ(t, ⃗x) = −
∂ t 2m ( ∇ ⃗ − iqA) ⃗ 2 ψ(t, ⃗x) − g s µ B
ˆ⃗S · B(t, ⃗ ⃗x)ψ(t, ⃗x) + qΦ(t, ⃗x),ψ(t, ⃗x) (2.11.31)
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