Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 1 · Erinnerung an die Quantenmechanik I
physikalischen Gehalt dieser Objekte ändert. Man nennt eine konkrete Realisierung dieser Verteilung
der Zeitabhängigkeit auf Zustandsvektoren und Observablenoperatoren Wahl des Bildes der Zeitentwicklung.
Eine zeitabhängige unitäre Transformation (1.9.1) heißt daher auch Bildtransformation,
da sie von einem Bild der Zeitentwicklung zu einem anderen wechselt.
Im folgenden wollen wir die Dynamik des Systems in einem beliebigen Bild formulieren, so daß wir
kein spezielles, z.B. das Schrödingerbild, mehr benötigen. Gleichwohl machen wir vom Schrödingerbild
zur Herleitung dieser Gleichungen Gebrauch. Seien also |ψ〉 und O Zustandskets und Operatoren
im Schrödingerbild und ψ ′ und O ′ die gemäß (1.9.1) transformierten Objekte. Dann ergibt sich
d
dt
ψ ′ (t) = dB(t) |ψ(t)〉 − i B(t)H |ψ(t)〉, (1.9.4)
dt ħh
wobei wir von (1.8.9) Gebrauch gemacht haben. Setzen wir jetzt auf der rechten Seite die gemäß (1.9.1)
transformierten Objekte ein, folgt
d
ψ ′ (t) = − i dt
ħh Y(t) ψ ′ (t) mit Y(t) = H ′ (t) + iħh dB(t) B † (t). (1.9.5)
dt
Dabei ist H ′ (t) = B(t)HB † (t) der Hamiltonoperator im neuen Bild. Offensichtlich ist Y(t) selbstadjungiert.
Da nämlich H selbstadjungiert ist, trifft dies auch auf H ′ (t) zu. Bleibt der zweite Term in
(1.9.5) zu überprüfen. Da B(t) unitär ist, gilt
Leiten wir diese Gleichung nach der Zeit ab, folgt
B(t)B † (t) = 1. (1.9.6)
B(t)Ḃ† (t) + Ḃ(t)B† (t) = B(t)Ḃ† (t) + [B(t)Ḃ† (t)] † = 0. (1.9.7)
Dabei verwenden wir wie in der Mechanik den Punkt, um die Zeitableitung zu bezeichnen. Dann folgt
aber
iħh Ḃ(t)B † (t) †
= −iħhB(t) Ḃ † (t) (1.9.7)
= +iħhḂ(t)Ḃ(t), (1.9.8)
d.h. auch der zweite Term in der Definitionsgleichung von Y(t) (1.9.5) ist selbstadjungiert, d.h. es gilt
tatsächlich
Y † (t) = Y(t). (1.9.9)
Für die Observablen folgt durch eine einfache Rechnung die Bewegungsgleichung
Dabei definieren wir
dO ′
dt
= 1
O ′ , X(t) + ∂ expl
t O ′ mit X(t) = H ′ (t) − Y(t). (1.9.10)
iħh
∂ expl
t O ′ = B(t)(∂ t O)B † (t), (1.9.11)
wobei die Zeitabhängigkeit des Operators O im Schrödingerbild rein explizit ist. Die fundamentalen
Operatoren x und p, aus denen sich jeder Operator O = O(x,p; t) aufbauen läßt, sind im Schrödingerbild
definitionsgemäß zeitunabhängig.
Die physikalisch relevanten dynamischen Aussagen der Quantentheorie hängen auch im neuen Bild
nur von H ′ (t) ab, während das Bild durch die willkürliche Festlegung eines der selbstadjungierten
Operatoren X(t) oder Y(t) definiert werden kann. Diese beiden Operatoren sind durch X(t)+Y(t) =
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