Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 7 · Einführung in die Quantenelektrodynamik
Führen wir dann das Betragsquadrat von (7.4.52) aus und mitteln über den Elektronenspin und Photonpolarisationen
im Anfangszustand und summieren über diese Größen für die Teilchen im Endzustand,
erhalten wir die Spur
⎧
2 e 4 ⎨
γ ν
f i =
4 tr ⎩ ( (/p + /k + m)γ µ
/p + m)
+ γ µ (/p − /k ′ + m)γ ν
s − m 2
u − m 2
⎡
⎤⎫
(7.4.55)
× (/p ′ + m) ⎣ γ µ ( /p + /k + m)γ ν
+ γ ν ( /p − /k ′ + m)γ µ
⎬
⎦
s − m 2 u − m 2 ⎭ .
Auch diese Spur läßt sich wieder leicht mit Hilfe von Tracer berechnen. Als Funktion von s und u
ergibt sich mit e 2 = 4πα
f i
2
=
32α 2
(s − m 2 ) 2 (u − m 2 ) 2 [6m8 − m 4 (3s 2 + 14s u + 3u 2 )
+ m 2 (s + u)(s 2 + 6s u + u 2 ) − s u(u 2 + s 2 )].
(7.4.56)
Üblicherweise gibt man den Streuquerschnitt für die Comptonstreuung im Laborsystem an, in dem
das Elektron vor dem Stoß ruht. Der Zusammenhang zwischen den Mandelstamvariablen und den
Viererimpulsen von
Elektron und Photon vor dem Stoß, p = (m,0) t , k = (ω = | k|, ⃗ k) ⃗ bzw. nach dem
Stoß p ′ = (E ′ = m 2 + ⃗p ′2 , ⃗ ) ′ , k ′ = (ω ′ = | k ⃗ ′ |, k ⃗ ′ ) ist
s = ( p + k) 2 = m 2 + 2mω, u = ( p − k ′ ) 2 = m 2 − 2mω ′ . (7.4.57)
Aus der Viererimpulserhaltung folgt weiter p ′ = p + (k − k ′ ). Durch Quadrieren erhalten wir daraus
nach einfachen Umformungen
1
m
ω − 1
= 1 − cosϑ, (7.4.58)
′ ω
wobei ϑ den Winkel zwischen dem Impuls des einlaufenden und dem des auslaufenden Photons bezeichnet.
Die allgemeine Formel (7.4.7) für den differentiellen Streuquerschnitt ist allerdings im Schwerpunktsystem
gegeben. Für den hier betrachteten Fall für den spin- und polarisationsgemittelten Streuquerschnitt
hängt das quadrierte Matrixelement offenbar nicht vom Winkel ϕ ab, und wir erhalten den
differentiellen Streuquerschnitt im Laborsystem am einfachsten, indem wir zunächst
dΩ cm = 2πdϑ cm sinϑ cm
über die Mandelstamvariable t ausdrücken. Aus (7.4.19) folgt wegen P cm = ω cm = ω ′ cm
Nun ist aber wegen (7.4.16)
Im Laborsystem gilt
dt = −2ωcm 2 dϑ cm sinϑ cm ⇒ dΩ cm = − π
ωcm
2 dt. (7.4.59)
ω cm = s − m2
2 s
= mω s
. (7.4.60)
t = (k − k ′ ) 2 = −2k · k ′ = −2ωω ′ (1 − cosϑ), (7.4.61)
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