Quantentheorie II - FIAS

Anhang B · Einige Integrale mit Bose- und Fermiverteilungen
berechnen. Es folgt durch Ableiten unter dem Integral
∫ ∞
0
x n exp(−z x) = (−1) n G (n) (z) = n!
z n+1 .
(B.1.7)
Dies in (B.1.5) mit z = k + 1 angewandt ergibt
∞∑ (−1) k
I F (n) = n!
für n ∈ {2,3,...}. (B.1.8)
(k + 1) n
k=0
Die Reihe selbst läßt sich mit Hilfe von Fourier-Reihen lösen. Dazu betrachten wir die Fourierreihe
für die Funktion f (x) = x n im Intervall x ∈ [−π,π]. Es gilt
f (x) =
∞∑
k=−∞
˜f k exp(ik x) mit ˜fk = 1 ∫ π
dx f (x)exp(−ik x).
2π −π
(B.1.9)
Um die Koeffizienten zu berechnen, verwenden wir wieder eine erzeugende Funktion:
G(z) = 1 ∫ π
dx exp(−iz x) = sin(πz) . (B.1.10)
2π −π
πz
Daraus folgt
G (n) (z) = (−i)n
2π
Wir erhalten die Koeffizienten in (B.1.9) durch
∫ π
−π
dx x n exp(−iz x).
(B.1.11)
Für k = 0 folgt
˜f k = i n G (n) (k) für k ≠ 0. (B.1.12)
˜f 0 = 1 ∫ π
dx x n =
2π −π
⎧
⎪⎨ 0 falls n ungerade,
π n
⎪⎩
n + 1
falls n gerade.
(B.1.13)
Es ist klar, daß für gerade (ungerade) n durch Zusammenfassen der Reihenglieder mit entgegengesetztem
Vorzeichen reine Cosinus- bzw. Sinusreihen entstehen. Wir geben nun einige dieser Reihenentwicklungen
an, die im offenen Intervall (−π,π) gelten.
∞∑ (−1) k+1
x = 2
sin(k x),
k
k=1
k=1
(B.1.14)
x 2 = π2 ∞∑
3 + 4 (−1) k
cos(k x), (B.1.15)
k
k=1
2
∞∑
x 3 (−1) k+1
= 2
π 2 − 6
sin(k x),
(B.1.16)
k k
k=1
2
x 4 = π4 ∞∑
5 + 8 (−1) k
π 2 − 6 cos(k x). (B.1.17)
k 2 k 2
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