Quantentheorie II - FIAS

4.5 · Gleichgewichtsthermodynamik idealer Gase
gegeben sind. Substituieren wir x = β[P 2 /(2m) − µ], geht dies in die Form
(2s + 1)V 2m 3/2 ∫ √
∞ √√
2m(x + βµ) 1
F [ f ] = x + βµ f
4π 2 β
β 1 + exp x
dx
−βµ
(4.5.51)
über. Durch partielle Integration wird daraus
(2s + 1)V
F [ f ] =
4π 2
2m
β
3/2 ∫ ∞
dx
−βµ
exp x
(1 + exp x) 2
⎡
∫ x
× dx ′ ⎣ x ′ + βµ f
−βµ
√ ⎤ √√
2m(x ′ + βµ)
⎦.
β
(4.5.52)
Beginnen wir mit der Berechnung der mittleren Teilchenzahl. Gemäß (4.5.14) und der Ersetzungsregel
(4.5.15) finden wir durch Einsetzen in (4.5.52)
(2s + 1)V
N =
6π 2
2m
β
3/2 ∫ ∞
−βµ
exp x
dx
(1 + exp x) (x + 2 µβ)3/2 . (4.5.53)
Der erste Faktor im Integranden ist eine gerade Funktion von x, die für |x| → ∞ exponentiell gedämpft
ist, während der zweite Faktor für große βµ langsam veränderlich ist. Wir können also den zweiten
Faktor nach Potenzen von 1/(βµ) entwickeln,
(x + βµ) 3/2 = (βµ) 3/2 1 + 3 x
2 βµ + 3 x 2
···
8 µ 2 β + , (4.5.54)
2
und für das dann entstehende Integral die untere Integrationsgrenze βµ → −∞ setzen.
Die Anwendung der Formeln
∫ ∞
exp x
dx
(1 + exp x) = − 1
∞
= 1, (4.5.55)
2 1 + exp x
−∞
∫ ∞
−∞
in (4.5.53) eingesetzt ergibt schließlich 4
dx x 2 exp x
(1 + exp x) = π2
2 3
−∞
(4.5.56)
(2s + 1)V
N = (2mµ)
1 3/2 + 1 2 πkB
T 2 + [(βµ) ]
−4 . (4.5.57)
6π 2 8 µ
Zur Berechnung der inneren Energie setzen wir in (4.5.52) f (P) = P 2 /(2m) = (x + βµ)/β, erhalten
wir das Integral
(2s + 1)V 2m 3/2 ∫ ∞
U = dx (x + βµ) 5/2 exp x
10π 2 β β
(1 + exp x) . (4.5.58)
2
Das Integral berechnen wir wieder näherungsweise, indem wir die Reihenentwicklung
(x + βµ) 5/2 = (βµ) 5/2 1 + 5 x
2 βµ + 15 x 2 1
8 (βµ) + 2 (βµ) 3
4 Gl. (4.5.56) wird im Anhang B bewiesen.
−βµ
(4.5.59)
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