Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 5 · Vielteilchensysteme wechselwirkender Teilchen
zu bringen ist. Daraus entstehen aber offensichtlich sämtliche zusätzlichen Kontraktionen über Paare
von Operatoren sowie das vollständig normalgeordnete Produkt wie durch das Wicksche Theorem für
k = n + 1 behauptet, und damit ist die Behauptung vollständg bewiesen.
Es ist nun klar, daß gemäß (5.1.74) für Vakuumerwartungswerte von Produkten von Erzeugern und
Vernichtern immer nur die vollständig kontrahierten Terme in der letzten Zeile (also stets nur falls
k gerade ist) übrigbleiben. Außerdem müssen auch noch gleich viele Erzeuger wie Vernichter in dem
betreffenden Term vorhanden sein.
Betrachten wir nun aus (5.1.65) den Beitrag n-ter Ordnung zum T -Matrixoperator, ergibt sich aus
dem Wickschen Theorem die folgende Struktur für die störungstheoretischen Matrixelemente, die
wir gleich in den folgenden Raum-Zeit-Feynman-Diagrammregeln zusammenfassen. Dazu denken
wir uns in (5.1.65) jeden Wechselwirkungsoperator in der Form (5.1.13) ausgedrückt. Da über die n
Zeitargumente der Wechselwirkungsoperatoren zu integrieren ist, können wir die δ-Distributionen
in (5.1.13) weglassen, womit diese Zeitintegrationen allesamt bereits ausgeführt sind.
1. Jeder Beitrag der n-ten Ordnung der Störungsreihe (5.1.65) zum T -Matrixelement
iT (n)
f i
= 2πi j i δ (4) (P i − P f ),
wobei P i (P f ) die Summe der Impulse der einlaufenden (auslaufenden) Teilchen bedeutet, enthält
n Wechselwirkungs-Hamiltonoperatoren. Jeden Wechselwirkungsoperator stellen wir durch ein
Diagramm der Form
x 1 x 2 = − i 2 U (x 1 − x 2 ) = − i 2
∫
4
d 4 k
(2π) 4 Ũ (k)exp[−ik · (x 1 − x 2 )] (5.1.79)
dar, welches die angegebene analytische Bedeutung besitzt. Die gestrichelte Linie steht für ein
Wechselwirkungspotential, das zwei eckig gezeichnete Vertexpunkte verbindet. Die Vertexpunkte
symbolisieren dabei jeweils einen Raum-Zeitpunkt, wobei das Diagramm überhaupt wie ein
Raumzeitdiagramm zu lesen ist, bei dem die Zeit von unten nach oben eingezeichnet ist. Die
beiden äußeren einlaufenden Linien symbolisieren die Erzeugungsfeldoperatoren ψ † (x 1 ,σ 1 ) und
ψ † (x 2 ,σ 2 ) und die auslaufenden Linien die Vernichtungsfeldoperatoren ψ(x 1 ,σ 1 ) und ψ(x 2 ,σ ′ 2 )
im Wechselwirkungsoperator (5.1.13).
2. Für jedes Teilchen im (asymptotisch freien) Anfangszustand (Endzustand) zeichne man ganz unten
(oben) einen runden Vertexpunkt (den Zeitpunkt t i → −∞ (bzw. t f → +∞) repräsentierend)
mit einem aus diesem Punkt auslaufenden (in diesen Punkt einlaufenden) Beinchen, das
mit Impuls-Spin-Argumenten ⃗p,σ versehen wird und den Erzeugungsoperator a † (⃗p,σ) (bzw.
den Vernichtungsoperator a(⃗p,σ) repräsentiert),
⃗p,σ = 1, ⃗p,σ = 1. (5.1.80)
3. Man füge dem Gesamtausdruck einen Faktor 1/n! hinzu.
4. Entsprechend dem Wickschen Theorem entspricht dann der Beitrag zu T (n) der Summe über
f i
alle Diagramme, die aus den oben beschriebenen Diagrammelementen entstehen, wenn man alle
möglichen Verbindungen zwischen Vertexpunkten und/oder äußeren Punkten untereinander
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