Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 2 · Galilei-Symmetrie
wobei wir von der Orthogonalität der Drehmatrix ˆR( ⃗ φ) Gebrauch gemacht haben:
⃗p · [ ˆR −1 ( ⃗ φ) ⃗ K] = [ ˆR −1T ( ⃗ φ)⃗p] · ⃗K = [ ˆR( ⃗ φ)⃗p] · ⃗K. (2.7.24)
Damit haben wir die Wirkung aller Bestandteile der Strahldarstellung der Galilei-Gruppe für ein Elementarteilchen
festgelegt. Es verbleibt uns nur noch, die Darstellungen der Drehgruppe zu charakterisieren,
um alle möglichen Realisierungen von Matrizen ˆD( ⃗ φ) zu ermitteln.
Wir müssen uns nun aber noch von der Unitarität der Strahldarstellung überzeugen. Für die zeitlichen
und räumlichen Translationen ist dies klar, da diese die Basisvektoren ⃗p,σ lediglich mit Phasenfaktoren
multiplizieren, weil diese Vektoren konstruktionsgemäß Eigenvektoren der entsprechenden
Erzeugenden H und ⃗ P sind. Für die Boosts folgt
exp(i ⃗w · ⃗ K)⃗p1 ,σ 1
exp(i ⃗w · ⃗ K)⃗p2 ,σ 2
=
⃗p1 + m ⃗w,σ 1
⃗p 2 + m ⃗w,σ 2
= δ (3) [(⃗p 1 + m ⃗w) − (⃗p 2 + m ⃗w)]δ σ1
(2.7.25)
σ 2
= δ (3) (⃗p 1 − ⃗p 2 )δ σ1 σ 2
=
⃗p 1 ,σ 1
⃗p 2 ,σ 2 .
Dabei sind wir davon ausgegangen, daß die ⃗p,σ auf die übliche Weise normiert und daß sich die
Darstellungsmatrizen ˆD( ⃗ φ) der Drehgruppe auf eine diskrete Basis beziehen. Wir werden im nächsten
Abschnitt sehen, daß dies notwendig der Fall ist. Betrachten wir schließlich noch die Drehungen:
exp(−i ⃗ φ · ⃗ J)⃗p1 ,σ 1
exp(−i ⃗ φ · ⃗ J)⃗p2 ,σ 2
=
∑
σ ′ ,σ ′′ D ∗ σ ′ σ 1
D σ ′′ σ 2
ˆR( ⃗ φ)⃗p1 ,σ ′ ˆR( ⃗ φ)⃗p2 ,σ ′′
= ∑ σ ′ ,σ ′′ D ∗ σ ′ σ 1
( ⃗ φ)D σ ′′ σ 2
( ⃗ φ)δ (3) [ ˆR( ⃗ φ)(⃗p 1 − ⃗p 2 )]δ σ ′ σ ′′
(2.7.26)
= δ (3) (⃗p 1 − ⃗p 2 ) ˆD† ( ⃗ φ) ˆD( ⃗ φ) σ 1 σ 2
.
Dabei haben wir bei der Umrechnung der δ-Distribution verwendet, daß det ˆR( ⃗ φ) = 1 ist. Damit also
die Strahldarstellung unitär ist, muß
ˆD † ( ⃗ φ) ˆD( ⃗ φ) = 1, (2.7.27)
also die Darstellung der Drehgruppe ˆD( ⃗ φ) unitär sein. Damit die Strahldarstellung irreduzibel ist,
muß offenbar auch die unitäre Darstellung der Drehgruppe irreduzibel sein, denn nur dann können alle
Eigenzustände zum Impulseigenwert ⃗p = 0 durch Anwendung von Drehungen aus einem beliebigen
solchen Zustand gewonnen werden.
Wir müssen also noch die unitären irreduziblen Darstellungen der Drehgruppe finden, um unsere Darstellungstheorie
der Galilei-Symmetrie und damit die Beschreibung nichtrelativistischer Elementarteilchen
abzuschließen.
Zunächst bemerken wir, daß die Galilei-Boosts für sich genommen eine (Abelsche) Untergruppe der
vollen Galilei-Gruppe bilden, die insbesondere keine Drehungen generieren kann. Daher können die
eben konstruierten Basiszustände als dyadisches Produkt
⃗p,σ = ⃗p ⊗ |σ〉 (2.7.28)
geschrieben werden, und der Drehimpuls läßt sich in einen Bahndrehimpuls- und einen Spinanteil
zerlegen:
⃗ J = ⃗ L × 1 + 1 × ⃗ S =: ⃗ L + ⃗ S. (2.7.29)
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