Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 6 · Einführung in die relativistische Quantentheorie
Verhält sich also A µ unter Lorentztransformationen x ′ = Λx (bzw. x = Λ −1 x ′ ) wie ein Vektorfeld, d.h.
gemäß
A ′ µ (x ′ ) = Λ µ ν Aν (x) = Λ µ ν Aν (Λ −1 x), (6.2.36)
so ist F µ ν ein Vierertensor zweiter Stufe. Mittels der vollständig kovarianten Indizes geschrieben gilt
F µν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ = −F νµ , (6.2.37)
d.h. wir haben einen antisymmetrischen Tensor zweiter Stufe. Dieser besitzt offenbar (4·4−4)/2 = 6
voneinander unabhängige Komponenten, entsprechend den sechs unabhängigen Feldkomponenten des
elektrischen und magnetischen Feldes ⃗ E und ⃗ B in der Dreierschreibweise der Elektrodynamik. Der
Tensor F µν heißt Feldstärke- oder Faraday-Tensor.
Fragen wir uns nun, wie die relativistische Bewegungsgleichung eines Punktteilchens im elektromagnetischen
Feld aussieht, können wir vom Hamiltonschen Prinzip ausgehen. Für das freie Teilchen lautet
das Wirkungsfunktional im Lagrangeformalismus gemäß (6.2.10) in der manifest kovariante Form
geschrieben
∫
S 0 [x] = −m
√
√dx
dλ
µ
dλ
dx µ
dλ . (6.2.38)
Wesentlich ist dabei daß die Wirkung zum einen lorentzinvariant ist und zum anderen unabhängig von
der Parametrisierung der Weltlinie. Letzteres ist der Fall, weil die Lagrangefunktion eine homogene
Funktion 1. Ordnung bzgl. dx µ /dλ ist.
Von der nichtrelativistischen Mechanik her wissen wir, daß das elektromagnetische Feld über das skalare
und das Vektorpotential in die Lagrangefunktion eingeht. Skalar- und Vektorpotential haben wir
oben zu dem Vierervektor A µ = (A 0 , ⃗ A) zusammengefaßt. Es liegt also nahe, die Wechselwirkung durch
den Wechselwirkungsanteil der Wirkung
∫
S W [x] = −q
dλ A µ (x) dxµ
dλ . (6.2.39)
Dies ist eine Lorentz-invariante Größe, da der Integrand das Minkowskiprodukt zweier Vektoren ist.
Außerdem ist es ebenfalls in erster Ordnung bzgl. dx µ /dλ und damit wieder unabhängig von der gewählten
Parametrisierung. Dabei ist q die elektrische Ladung des Punktteilchens. Diese ist also als
Viererskalar anzusehen, wenn (6.2.39) Lorentz-invariant sein soll.
Wählen wir nun für λ wieder die Zeitkomponente bzgl. eines festen Inertialsystems folgt für die Wirkung
∫
S[x] = −m
dt L(⃗x, ˙⃗x),
mit L = −m 1 − ˙⃗x 2 − qA 0 (x) + qA(x) ⃗ · ˙⃗x. (6.2.40)
Aus dem Hamiltonschen Prinzip der kleinsten Wirkung ergibt sich dann, wie in der nichtrelativistischen
Mechanik, die Bewegungsgleichung in Form der Euler-Lagrange-Gleichung
∂ L
∂ ⃗x − d ∂ L
= 0. (6.2.41)
dt ∂ ˙⃗x
Nun folgt aus (6.2.40)
∂ L ˙⃗x
∂ ẋ = m 1 − ˙⃗x
+ qA. ⃗ (6.2.42)
2
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