Quantentheorie II - FIAS

6.3 · Das klassische elektromagnetische Feld
Aus dem Faradaytensor läßt sich durch Hodge-Dualisierung ein zweiter antisymmetrischer Tensor
zweiter Stufe bilden, nämlich
(F † ) µν = ε µνρσ F ρσ . (6.3.27)
Dabei sind die Komponenten des Levi-Civita-Tensors dadurch definiert, daß ε 0123 = 1 und das Symbol
ansonsten total antisymmetrisch unter Vertauschung seiner vier Indizes sein soll. Der Levi-Civita-
Tensor ist übrigens nur ein Tensor bzgl. unimodularer Transformationen, also solchen Transformationen
mit Determinante 1, hinsichtlich der Lorentzgruppe also nur bzgl. der SO(1,3), denn offenbar gilt
für beliebige Transformationsmatrizen Λ
ε ′ µνρσ = Λ
µ
µ ′Λ ν ν ′Λρ ρ ′Λσ σ ′εµ′ ν ′ ρ ′ σ ′ = detΛε µνρσ . (6.3.28)
Unter allgemeinen linearen Transformationen handelt es sich genau genommen um eine Tensordichte.
Für die total kovarianten Komponenten gilt aufgrund derselben Überlegung
ε µνρσ = det g ε µνρσ = −ε µνρσ . (6.3.29)
Es ist wichtig zu betonen, daß die hier festgelegte Konvention nicht einheitlich in der Literatur eingehalten
wird, so daß bei Vergleich von Formeln aus verschiedenen Quellen Vorsicht geboten ist. Wir
folgen der Konvention in [PS95].
Wir können nun also aus dem Fardaytensor und seinem Dual durch Kontraktion mit dem Vierergradienten
∂ µ zwei Vektorausdrücke bilden. Aufspalten dieser Gleichungen in räumliche und zeitliche
Komponenten und Vergleich mit den Maxwellgleichungen (6.3.1-6.3.2) ergibt dann deren relativistisch
kovariante Form (Übung!)
∂ µ (F † ) µν = 0, ∂ µ F µν = j ν . (6.3.30)
Die Kontinuitätsgleichung (6.3.4), die wie oben gezeigt dem Satz von der Erhaltung der elektrischen
Ladung entspricht, ergibt sich aus der zweiten Gleichung sofort durch eine weitere Kontraktion mit ∂ ν
und der Tatsache, daß der Feldstärketensor antisymmetrisch und die partiellen Ableitungen miteinander
kommutieren, ∂ µ ∂ ν = ∂ ν ∂ µ in der Tat sofort
∂ ν j ν = ∂ ν ∂ µ F µν = 0. (6.3.31)
Wir wenden uns nun einigen einfachsten Grundlagen der Lösungstheorie der Maxwellgleichungen, die
uns später in der Quantenfeldtheorie noch nützlich sein werden, zu.
6.3.3 Lösung der quellenfreien Maxwellgleichungen
Beginnen wir mit dem Fall des ladungs- und stromfreien Raums, also der Form sich im freien Raume
ausbreitender elektromagnetischer Wellen. Betrachten wir dazu die Wellengleichung (6.3.19) für das
Viererpotential, wobei allerdings darauf zu achten ist, daß die Lorenzeichbedingung (6.3.14) als Nebenbedingung
erfüllt sein muß. Kovariant geschrieben lautet sie
∂ µ A µ = 0. (6.3.32)
Wie im Anschluß an (6.3.15) bemerkt, legt jedoch diese Bedingung das Viererpotential für den quellenfreien
Fall noch nicht eindeutig fest. Vielmehr haben wir noch die Freiheit, durch eine Eichtransformation
A µ → A µ +∂ µ ˜χ eine Komponente des Viererpotentials zu eliminieren. Um auch dies Lorentzkovariant
zu formulieren, verlangen wir
n µ A µ = 0, (6.3.33)
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