Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 4 · Vielteilchensysteme aus freien Teilchen
in der Fock-Raumdarstellung für das Vielteilchenproblem, ergeben. Freilich stimmen die über diese
Methode gewonnenen Kommutatorregeln und damit die Konstruktion des Fock-Raums mit den oben
hergeleiteten Resultaten überein. Als Beispiel betrachten wir nichtwechselwirkende Spin-1/2-Teilchen
in einem vorgegebenen äußeren elektromagnetischen Feld wie in Abschnitt 2.11.
Um die kanonische Feldquantisierung durchführen zu können, benötigen wir zunächst die Formulierung
einer klassischen Feldtheorie durch das Hamiltonsche Prinzip der kleinsten Wirkung. Wir suchen
also zuerst eine Lagrangefunktion, die auf die Pauli-Gleichung (2.11.31) führt. Allgemein betrachten
wir die Felder ψ σ (t, ⃗x) als kontinuierlich viele Freiheitsgrade, die durch ⃗x und σ parametrisiert sind,
wobei σ freilich nur die diskreten Werte ±1/2 annehmen kann. Entsprechend sollte sich die Lagrange-
Funktion aus einer Lagrange-Dichte vermöge
∫
L[ψ,ψ ∗ , ˙ψ, ˙ψ ∗ ; t] = d 3 ⃗x (ψ,ψ ∗ , ˙ψ, ˙ψ ∗ , ∇ψ, ⃗ ∇ψ ⃗ ∗ ; t, ⃗x) (4.3.38)
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ergeben. Dabei behandeln wir ψ und ψ ∗ als unabhängige Feldfreiheitsgrade, da die Spinorkomponenten
der Felder komplexwertig sind und im Hamiltonschen Prinzip Real- und Imaginärteil als unabhängige
reelle Feldfreiheitsgrade angesehen werden können. Dazu äquivalent ist es, die Spinorkomponenten
und ihr konjugiert Komplexes als unabhängig voneinander anzunehmen.
Um die Bewegungsgleichungen herzuleiten, betrachten wir die Wirkung
∫ t2
∫ t2
∫
A[ψ,ψ ∗ ] = dt L[ψ,ψ ∗ , t] = dt d 3 ⃗x (ψ,ψ ∗ , ˙ψ, ˙ψ ∗ , ∇ψ, ⃗ ∇ψ ⃗ ∗ ; t, ⃗x). (4.3.39)
t 1 3
t 1
Wieder in Analogie zur kanonischen Mechanik der Punktteilchen, ergeben sich die Bewegungsgleichungen
aus der Stationarität der Wirkung unter unabhängiger Variation der Spinorfeldkomponenten
ψ und ψ ∗ unter der Einschränkung
δψ σ (t 1 , ⃗x) = δψ σ (t 2 , ⃗x) = δψ ∗ σ (t 1 , ⃗x) = δψ∗ σ (t 1 , ⃗x) = 0. (4.3.40)
Führen wir die Variation aus, erhalten wir wegen
δ ˙ψ σ = ∂ t (δψ σ ), δ ˙ψ ∗ σ = ∂ t (δψ∗ σ ), δ ⃗ ∇ψ σ = ⃗ ∇(δψ σ ), δ ⃗ ∇ψ σ = ⃗ ∇(δψ σ ) (4.3.41)
durch partielle Integration nach t bzw. ⃗x
⎧ ⎡
∫ t2
∫ ⎨
δA = dt d 3 ⃗x
3 ⎩ δψ σ
t 1
⎣ ∂
∂ ψ σ
− ∂ t
+δψ ∗ σ
∂
∂ (∂ t ψ σ ) − ⃗ ∇ ·
⎡
⎣ ∂ ∂
∂ ψ ∗ − ∂ t
σ ∂ (∂ t ψ ∗ σ) − ∇ ⃗ ·
⎤
∂
∂ ( ∇ψ ⃗ ⎦
σ )
⎤⎫
(4.3.42)
∂
⎬
∂ ( ∇ψ ⃗ ⎦
∗ σ) ⎭ .
Damit dies für unabhängige Variationen der ψ σ und ψ ∗ σ verschwindet, müssen die eckigen Klammern
verschwinden. Dies liefert die Euler-Lagrange-Gleichungen für Felder
⎡
⎤
⎣ ∂ ∂
− ∂
∂ ψ t
σ ∂ (∂ t ψ σ ) − ∇ ⃗ ∂
·
∂ ( ∇ψ ⃗ ⎦ = 0,
σ )
⎡
⎤
(4.3.43)
⎣ ∂ ∂
∂ ψ ∗ − ∂ t
σ ∂ (∂ t ψ ∗ σ) − ∇ ⃗ ∂
·
∂ ( ∇ψ ⃗ ⎦ = 0.
∗ σ)
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