Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 2 · Galilei-Symmetrie
Das generelle Vorgehen beim Aufsuchen der unitären Strahldarstellungen einer vorgegebenen Symmetriegruppe
besteht darin, zunächst die dazugehörigen Darstellungen der (Strahl-)Lie-Algebren zu finden.
Die selbstadjungierten Operatoren der Lie-Algebra bilden dann die Observablenoperatoren der
entstehenden Quantentheorie. In unserem Fall der Galilei-Gruppe gelangen wir dadurch zu den Realisierungen
der Observablen Energie, Impuls, Drehimpuls und Schwerpunkt (für ein einzelnes Teilchen
also dem Ortsvektor).
Um die möglichen Strahldarstellungen aus den Kommutatorrelationen der Lie-Algebra, die aus der
Gruppenstruktur folgen, konkret zu berechnen, werden (verallgemeinerte) Orthonormalbasissysteme
aus Eigenvektoren eines möglichen maximalen Satzes kompatibler Operatoren konstruiert und die
Wirkung der unitären Gruppentransformationen auf diese Basisvektoren bestimmt. Dieses Programm
führen wir nun für die Galilei-Gruppe aus.
Zunächst bestimmen wir die Lie-Klammerrelationen der Galilei-Lie-Algebra. Die Lie-Algebra hat, wie
in Abschnitt 2.1 gesehen, zehn Parameter ⃗w (Boosts), α (zeitliche Translationen), ⃗a (räumliche Translationen)
und ⃗ϕ (Drehungen). Die Konvention für die Vorzeichen der Operatoren für die infinitesimalen
Erzeugenden ist dabei wie folgt festgelegt:
U( ⃗w,α, ⃗a, ⃗ φ) = exp(−i ⃗w · ⃗K − iαH + i⃗a · ⃗p + i ⃗ φ · ⃗J). (2.6.1)
Verwenden wir (2.1.13) und (2.1.21) für die Darstellung infinitesimaler Transformationen, finden wir
für die Entwicklung der Parameter für die Hintereinanderausführung zweier infinitesimaler Galilei-
Transformationen Γ 3 = Γ 2 Γ 1
w 3 j = w 1 j + w 2 j − ε j k l φ 2k w 1l + ..., (2.6.2)
α 3 = α 1 + α 2 , (2.6.3)
a 3 j = a 1 j + a 2 j − ε j k l φ 2k a 1l + w 2 j α 1 , (2.6.4)
φ 3 j = φ 1 j + φ 2 j − ε j k l φ 2k φ 1l + ... (2.6.5)
Daraus lesen wir durch Vergleich mit der entsprechenden Entwicklung von (2.6.1) mit Hilfe der Definition
(2.5.18) die Strukturkonstanten ab. Weiter setzen wir für alle Kommutatoren willkürliche Zentralladungen
an, deren Anzahl wir im folgenden durch Elimination mit Hilfe der Jacobidentitäten (2.5.22)
möglichst reduzieren wollen. Es folgen also zunächst die Kommutatorrelationen (Übung!) mit der allgemeinsten
Möglichkeit für das Auftreten von Zentralladungen:
[J k , J l ] = iε j k l J j + iC J J
k l 1 , (2.6.6)
[J k , P l ] = iε j k l P j + iC J P
k l 1 , (2.6.7)
[J k , K l ] = iε j k l K j + iC J K
k l 1 , (2.6.8)
[P k , P l ] = iC P P 1
k l , (2.6.9)
[H, P k ] = iC H P 1
k , (2.6.10)
[H, J k ] = iC H J 1
k , (2.6.11)
[K k , P l ] = iC KP 1
k l , (2.6.12)
[H, K k ] = −iP k + iC H K 1
k , (2.6.13)
[K k , K l ] = iC KK 1
k l . (2.6.14)
Wir benutzen nun die Jacobi-Identitäten für die Zentralladungen (2.5.22), die aus den Jacobi-Identitäten
für jeweils drei der Erzeuger (2.6.6-2.6.14) folgen. Dabei sind die Jacobi-Identitäten für die Struk-
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