Quantentheorie II - FIAS

4.3 · Fockraumformulierung für Observablen
geschrieben haben.
Um eine Darstellung mit Hilfe der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren zu erreichen, verwenden
wir die auf den N-Teilchenraum eingeschränkte Vollständigkeitsrelation (4.2.7)
A (N)
1
= 1
(N!) 2 ∫
∫
dξ 1 ···
dξ N
∫
dξ ′
1 ... ∫
dξ ′ N
ξ 1 ,...,ξ N
±
± A (N)
ξ1 ,...,ξ N ξ
1 ′ ,...,ξ ′ ± ±
N ξ
′
1
,...,ξ ′
N
.
1
(4.3.8)
Zur Berechnung des Matrixelements drücken wir die Bra- und Ketvektoren gemäß (4.2.2) mit Hilfe
des (Anti-)Symmetrisierungsoperators durch Produktzustände aus. Dabei ist zu beachten, daß ± N mit
A (N)
1
vertauscht und die Projektionseigenschaft (4.2.4) besitzt:
± A (N)
ξ1 ,...,ξ N 1
ξ
1 ′ ,...,ξ ′ ±
N = N!
±
ξ1 ⊗ ··· ⊗ ξ N
= N! A (N)
ξ 1 ⊗ ··· ⊗ ξ N ±
1 N
ξ
1 ′ ⊗ ··· ⊗ ξ
′
N
N A(N) 1
± N
= ∑ (±1) σ(P) A (N)
ξ 1 ⊗ ··· ⊗ ξ N ξ ′ P(1) ⊗ ··· ⊗ ξ
′
P(N)
P∈S N
1
ξ
1 ′ ⊗ ··· ⊗ ξ
′
N
= ∑ N∑
(±1) σ(P) Ak ξ ′
ξ1 ⊗ ··· ⊗ ξ N P(1) ⊗ ··· ⊗ ξ
(4.3.9)
′
P(N)
P∈S N k=1
= ∑ N∑
(±1) σ(P) δ(ξ 1 − ξ ′ P(1) )···δ(ξ k−1 − ξ ′ A ξ
P(k−1) )
′
ξ k P(k)
P∈S N k=1
× δ(ξ k+1 − ξ ′ P(k+1) )···δ(ξ N − ξ ′ P(N) )
Im folgenden schreiben wir
A(ξ j ,ξ ′ k ) := A ξ
′
ξ j k
(4.3.10)
für das Einteilchenmatrixelement. Setzen wir (4.3.9) und (4.3.10) in (4.3.8) ein und integrieren in
jedem Summanden der Summe über k über ξ 1 ,...,ξ k−1 ,ξ k+1 ,...,ξ N , wobei wir die δ-Distributionen
in (4.3.9) ausnutzen können, erhalten wir
A (N)
1
= 1
(N!) 2 ∑
P∈S N
(±1) σ(P)
N∑
∫ ∫
dξ k
k=1
dξ ′
1 ···dξ ′ N A(ξ k ,ξ ′ P(k) )
× ξ ′ P(1) ,...,ξ ′ P(k−1) ,ξ k ,ξ ′ P(k+1) ,...,ξ ′ ± ±
P(N) ξ
′
1
,...,ξ ′
N
.
(4.3.11)
In dem Bra-Vektor können wir nun die Argumente in die durch die Permutation vorgegebene Reihenfolge
bringen. Da der Zustand vollständig (anti-)symmetrisiert ist, gilt
± ξ
1 ′ ,...,ξ ′
N
= (±1) σ(P) ±
ξ
′
P(1) ,...,ξ ′ P(N)
. (4.3.12)
In dem so umsortierten Bra- und auch im Ketvektor in (4.3.11) bringen wir nun noch das Argument
ξ ′ P(k) bzw. ξ k ganz nach vorne. Dazu müssen wir es mit den k − 1 davorstehenden Argumenten vertauschen.
Dabei entsteht aufgrund der Antisymmetrie unter diesen Vertauschen jedesmal der Faktor
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