Quantentheorie II - FIAS

6.2 · Das klassische Teilchenbild
Viererimpulsen p 1 und p 2 aneinander streuen (Anfangszustand) und zwei Teilchen X 3 und X 4 im Endzustand
mit Viererimpulsen p 3 und p 4 resultieren. Dies können die gleichen Teilchen sein (also wieder
X 1 und X 2 ), so daß also ein elastischer Streuprozeß betrachtet wird (z.B. die Elektron-Positron Streuung
e + + e − → e + + e − ) oder man hat von den Ausgangsteilchen verschiedene Teilchen im Endzustand
vorliegen (inelastischer Streuprozeß), z.B. Paarvernichtung e + + e − → 2γ. In jedem Falle müssen
Energie- und Impulserhaltung in dem Streuprozeß gelten, was sich sogleich vierdimensional kovariant
zusammenfassen läßt:
p 1 + p 2 = p 3 + p 4 . (6.2.15)
Weiter müssen die Energie-Impulsbeziehungen für die jeweiligen Teilchen erfüllt sein, wenn man sowohl
die einlaufenden als auch die auslaufenden Teilchen weit ab vom Reaktionspunkt („Vertex“) betrachtet,
wo die Wechselwirkung vernachlässigt werden kann (asymptotisch freie Teilchen):
p 2 1 = m2 1 , p2 2 = m2 2 , p2 3 = m2 3 , p2 4 = m2 4 . (6.2.16)
Neben diesen invarianten Massen kann man nun noch drei weitere Invarianten aus den Viererimpulsen
bilden, die man als Mandelstamvariablen 2 bezeichnet:
s = ( p 1 + p 2 ) 2 = ( p 3 + p 4 ) 2 , t = ( p 1 − p 3 ) 2 = ( p 2 − p 4 ) 2 , u = ( p 1 − p 4 ) 2 = ( p 2 − p 3 ) 2 . (6.2.17)
Diese drei Invarianten sind jedoch nicht unabhängig voneinander. Vielmehr findet man durch Ausmultiplizieren
der Minkowskiquadrate in (6.2.17) sowie Anwendung der Energie-Impulserhaltungsgleichung
(6.2.15) und der Energie-Impulsbeziehungen (6.2.16)
s + t + u = m 2 1 + m2 2 + m2 3 + m2 4 . (6.2.18)
6.2.2 Laborsystem
Für die Definition des invarianten Streuquerschnitts benötigen wir noch die Relativgeschwindigkeit
der Teilchen im Anfangszustand. In der nichtrelativistischen Kinematik ist das einfach die vektorielle
Differenz der Dreiergeschwindigkeiten. Dies ist aber im relativistischen Falle keine kovariante, also
vom Inertialsystem unabhängige Definition. Wir definieren daher die Relativgeschwindigkeit des Teilchens
X 2 zum Teilchen X 1 als seine Geschwindigkeit im Ruhsystem des Teilchens X 1 . Dieses Bezugssystem
bezeichnet man gemeinhin als Laborsystem, d.h. es gilt
p (lab) =
1
⎛
⎜
⎝
m 1
0
0
0
⎞
⎟
⎠ ,
p(lab) =
2
⎛
⎜
⎝
E (lab)
2
0
0
P (lab)
2
⎞ ⎛
⎟
⎠ = ⎜
⎝
m 2 2
(lab)
+ (P
0
0
P (lab)
2
2
) 2
⎞
⎟
⎠ , (6.2.19)
wobei P (lab)
2
den Dreierimpulsbetrag des einlaufenden Teilchens X 2 bezeichnet und die Stoßrichtung in
die Richtung der 3-Achse gelegt wurde. Die Relativgeschwindigkeit ist demnach definitionsgemäß
2 benannt nach Stanley Mandelstam ∗ 1928
v rel = P (lab)
2
E (lab)
2
. (6.2.20)
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