Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 6 · Einführung in die relativistische Quantentheorie
d.h. die dazugehörige Ladung
∫
Q =
∫
d 3 ⃗x j 0 (x) =
d 3 ⃗xψ † (x)ψ(x) (6.6.54)
ist erhalten. Insofern wähnte sich Dirac schon am Ziel, eine konsistente Einteilchen-Interpretation für
seine Wellengleichung analog zur nichtrelativistischen Quantenmechanik gefunden zu haben. Allerdings
ergeben sich für die ebenen Wellen, die Lösungen für Teilchen mit bestimmtem Impuls entsprechen
sollen, stets Lösungen mit postiver und solche mit negativer Frequenz ω = ±E( ⃗ k). Es stellte sich
weiter heraus, daß für die relativistisch konstruierbaren Wechselwirkungen (allen voran die elektromagnetische)
bei einer Anfangswellenfunktion, die nur aus der Superposition von Moden mit positiven
Frequenzen (also in der Einteilcheninterpretation positiven Energien) gebildet wird, vermöge der
Zeitentwicklung zu späteren Zeiten stets Moden mit negativen Frequenzen beigemischt werden. Die
Projektion auf Moden positiver Frequenz ist also nicht verträglich mit der Zeitentwicklung, so daß die
Moden mit negativer Frequenz notwendig zum Einteilchenhilbertraum der Wellenfunktionen hinzugefügt
werden müssen. Dies hat nun notwendig zur Folge, daß die naive Interpretation der Diracgleichung
im Sinne der Einteilchenwellenmechanik zu einer Theorie führt, für die der Hamilton-Operator
nicht nach unten beschränkt ist, d.h. es existiert kein stabiler Grundzustand. Diracs genialer Ausweg
war es, zu postulieren, daß im Grundzustand alle Zustände mit negativer Energie besetzt sind. Dieser
Dirac-See sollte sich dann in hochenergetischen Reaktionen bemerkbar machen, die ein Elektron aus
dem See herausschlagen können. Dieses Loch im Diracsee verhält sich dann wie ein Teilchen mit der
Elektronenmasse aber positiver Ladung. Auf diese Weise gelangte Dirac (allerdings nach einigen interpretatorischen
Komplikationen) zur Vorhersage der Existenz von Antiteilchen. Diese Löchertheorie
ist äquivalent zu der quantenfeldtheoretischen Auffassung, die wir als nächstes entwickeln werden. Der
Einführung des Dirac-Sees entspricht in der Quantenfeldtheorie einfach der Feynman-Stückelberg-
Trick und die nachfolgende Normalordnung der Observablen wie Energie, Impuls, Ladung usw.
Das Vorgehen entspricht genau dem beim elektromagnetischen Feld: Wir stellen als erstes eine lorentzinvariante
Lagrangedichte auf, gehen zum (nicht manifest kovarianten) Hamiltonformalismus über
und deuten die kanonischen Feld-Poisson-Klammerbeziehungen zu Antikommutatoren um. Es stellt
sich nämlich heraus, daß Kommutatoren für Dirac-Teilchen nicht zum Ziel führen (insbesondere ergibt
sich kein nach unten beschränkter Hamiltonoperator). Dies ist eine weitere Manifestation des oben
erwähnten Spin-Statistik-Theorems, wonach Teilchen mit halbzahligem Spin 12 stets Fermionen sind.
Um die Quantisierung des Feldes vorzubereiten, stellen wir zunächst die Lagrangedichtefunktion auf.
Da die Feldgleichung eine Differentialgleichung erster Ordnung ist, darf die Lagrangedichte die Ableitungen
nur linear enthalten. Da wir freie Teilchen beschreiben wollen, muß die Lagrangedichte eine
Bilinearform des Dirac-Spinorfeldes sein, und damit die Lorentzinvarianz sichergestellt ist, sollte sie
ein Skalarfeld ergeben. Dadurch werden wir auf die Lagrangedichte
= ψ(i /∂ − m)ψ (6.6.55)
geführt. Da ψ ∈ 4 ist, können wir wieder ψ und ψ als voneinander unabhängige Felder betrachten
und getrennt voneinander variieren. Die Euler-Lagrangegleichungen ergeben dann in der Tat die Dirac-
Gleichung (6.6.1) und die daraus folgende Gleichung für das Dirac-adjungierte Feld (6.6.51).
Zum Übergang zum Hamilton-Formalismus, benötigen wir als nächstes die kanonisch konjugierten
1/2.
12 Dirac-Teilchen haben, wie wir oben anhand des Verhaltens der Dirac-Spinoren unter Drehungen gesehen haben, Spin
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