Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 5 · Vielteilchensysteme wechselwirkender Teilchen
wobei
φ ′ σ ′ (⃗x) = δ σσ ′
∫
3
d 3 ⃗p
(2π) φ 3/2 ⃗p 1 ,σ(⃗p)exp(i⃗p · ⃗x). (5.1.28)
Wie wir aus (5.1.27) sehen, beschreibt also (5.1.25) ein freies Wellenpaket für ein Teilchen, das sich mit
einem mittleren Impuls ⃗p 1 (also in positiver z-Richtung) fortbewegt. Diese Form wird das exakte Wellenpaket
für das wechselwirkende Zweiteilchensystem freilich nur für t → −∞ haben, wenn sich die
Teilchen weit voneinander entfernt befinden und der Einfluß des Wechselwirkungspotentials vernachlässigt
werden kann. Wir können auch leicht nachrechnen, daß der asymptotische Zweiteilchenzustand
(5.1.19) auf 1 normiert ist, wie es sein muß (Übung!).
Betrachten wir nun die zeitliche Entwicklung des Zustandes im Wechselwirkungsbild. Gemäß (5.1.7)
und (1.13.5) gilt
|ψ(t)〉 = C(t, t 0 )|ψ(t 0 )〉 mit C(t, t 0 ) = c exp
−i
∫ t
t 0
dt ′ H w (t ′ )
, (5.1.29)
wobei wir statt des Anfangszeitpunktes t 0 = 0 in Abschnitt 1.13 hier einen allgemeinen Anfangszeitpunkt
t 0 gewählt haben. Für t 0 → −∞ haben wir gemäß (5.1.19)
|ψ(t)〉 = C(t,−∞)|ψ in 〉. (5.1.30)
Für sehr große Zeiten t → ∞ wird sich |ψ(t)〉 wieder wie ein System freier Teilchen verhalten, wenn
das Wechselwirkungspotential hinreichend schnell abfällt 3 , und wir betrachten das System in diesem
asymptotisch freien Endzustand
|ψ out 〉 = C(∞,−∞)|ψ in 〉 := S |ψ in 〉. (5.1.31)
Damit haben wir den für die Streutheorie wichtigen Begriff des Streuoperators eingeführt. Offenbar
ist der Streuoperator S ein unitärer Operator, der einen vorgebenen asympotisch freien Anfangszustand
|ψ in 〉 in den durch die quantentheoretische Zeitentwicklung determinierten asymptotisch freien
Endzustand |ψ out 〉 abbildet. Damit enthält der Streuoperator alle quantenmechanisch überhaupt möglichen
Informationen über den Streuvorgang. Insbesondere sind die Übergangswahrscheinlichkeiten
durch die entsprechenden Streumatrixelemente gegeben.
Wir interessieren uns hier für die elastische Streuung und die Wahrscheinlichkeit, daß wir ein Paar von
Elektronen mit bestimmten Impulsen und Spineinstellungen finden, also
dw( f ← i) := dw(⃗p ′ 1 ,σ′ 1 ; ⃗p ′ 2 ,σ′ 2 ← ψ in ) = d3 ⃗p ′ 1 d3 ⃗p ′ 2 − ⃗p ′ 1 ,σ′ 1 ; ⃗p ′
2 ,σ′ 2
S − 2
ψ in . (5.1.32)
Im realen Experiment läuft nun aber ein Strom von vielen Teilchen mit einem relativ unscharf bestimmten
Stoßparameter b ⃗ und einem relativ gut bestimmten Impuls ⃗p 1 = p 1
⃗e z (sog. „Bunches“) aus einem
Beschleuniger auf ein ruhendes Ziel, z.B. eine Metallfolie, in dem sich viele Teilchen befinden. Wir
betrachten hier nur den Fall, daß jedes Projektilteilchen an lediglich einem Targetteilchen streut (was
ein hinreichend dünnes Target voraussetzt) und keine neuen Teilchen erzeugt werden oder das Target
als ganzes in einen angeregten Zustand übergeht (elastische Streuung). Der differentielle Streuquerschnitt
soll ein Maß für die Wahrscheinlichkeit sein, daß zwei an einer solchen Streuung beteiligten
Teilchen weit weg vom Target in einem bestimmten Endzustand ψ f = ⃗p ′ 1 ,σ′ 1 ; ⃗p ′ −
2 2 ,σ′ gefunden
werden. Nun wird diese Wahrscheinlichkeit unter den oben beschriebenen Umständen proportional
3 Die mathematischen Bedingungen werden z.B. in [Tay72] genauer betrachtet. Es ist nur wichtig zu bemerken, daß diese
Forderungen für das Coulombpotential aufgrund seiner Langreichweitigkeit nicht erfüllt sind. Dies ist der Grund, warum
wir das Coulomb-Potential in diesem Kapitel, wie oben beschrieben, als Grenzfall des Yukawa-Potential betrachten. Eine
genauere Behandlung des Coulombspotentials findet sich in der bereits zitierten Lehrbuchliteratur, insbesondere in [ST93].
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