Quantentheorie II - FIAS

4.3 · Fockraumformulierung für Observablen
Es läßt sich auch leicht zeigen, daß im fermionischen Fall die Konstruktion des Fockraums allein aufgrund
der Antikommutatorrelationen (4.2.12) möglich ist. Die Antikommutatorrelationen sorgen dabei
automatisch für die Einhaltung des Pauli-Prinzips, wonach es keine Zustände gibt, in denen zwei
oder mehr Teilchen ein und denselben Einteilchenzustand besetzen können.
Im folgenden wollen wir zeigen, wie wir die Quantenmechanik von Vielteilchensysteme identischer
Bosonen oder Fermionen mit Hilfe der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren formulieren können.
In dem hier betrachteten nichtrelativistischen Fall hat das den Vorteil, daß es sich mit den Feldoperatoren
i.a. einfacher rechnen läßt als im Hilbertraum fester Teilchenzahl mit (anti-)symmetrisierten
Produktzuständen. Da die Teilchenzahl für nichtrelativistische Prozesse i.a. erhalten bleibt, sind diese
Formulierungen der Vielteilchenquantenmechanik also vollständig äquivalent. Im relativistischen Fall
stellt sich allerdings heraus, daß eine physikalisch befriedigende Beschreibung für Vielteilchensysteme
fester Teilchenzahl problematisch ist und auch nicht der Erfahrung entspricht, denn bei Stoßprozessen
mit relativistischen Energien können Teilchen-Antiteilchenpaare oder z.B. elektromagnetische Strahlen
(im quantentheoretischen Bild also Photonen) erzeugt und/oder vernichtet werden.
4.3 Fockraumformulierung für Observablen
4.3.1 Die Teilchendichte
Betrachten wir zunächst den Operator für die Teilchendichte. Wir behaupten, daß die Teilchendichte
für ein Teilchen mit Spinkomponente σ an der Position ⃗x durch den Operator
ϱ(ξ ) = ψ † (ξ )ψ(ξ ) (4.3.1)
repräsentiert wird. Daß dies eine physikalisch sinnvolle Definition ist, ergibt sich durch Anwendung
des Operators auf einen (anti-)symmetrisierten Basisfockzustand. Dazu berechnen wir zunächst den
Kommutator mit einem beliebigen Erzeugungsoperator:
ϱ(ξ ),ψ † (ξ 1 ) − = ψ † (ξ )ψ(ξ ),ψ † (ξ 1 ) −
= ψ † (ξ ) ψ(ξ ),ψ † (ξ 1 ) ∓ ± ψ † (ξ ),ψ † (ξ 1 ) ∓ ψ(ξ )
(4.3.2)
= ψ † (ξ )δ(ξ − ξ 1 ).
Nun können wir diese Vertauschungsrelation benutzen, um die Wirkung des Dichteoperators (4.3.1)
auf den Basisfockzustand zu berechnen, indem wir den Fockzustand mittels Erzeugungsoperatoren
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