Quantentheorie II - FIAS

5.1 · Zweiteilchen-Streuung
mit
1
1 0
u σ (t, ⃗x) =
(2π) exp[−i(t E(⃗p) − ⃗x · ⃗p)]χ 3/2 σ mit χ +1/2 = , χ
0 −1/2 = . (5.1.9)
1
Dabei gelten die Energie-Impulsbeziehung freier Teilchen
E(⃗p) = ⃗p2
2m
(5.1.10)
und die Antikommutatorregeln für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren bzgl. der Impuls-
Spin-Eigenbasis
a(⃗p,σ),a(⃗p ′ ,σ ′ ) = a † (⃗p,σ),a † (⃗p ′ ,σ ′ ) = 0,
a(⃗p,σ),a † (⃗p ′ ,σ ′ ) = δ (3) (⃗p − ⃗p ′ )δ σσ ′. (5.1.11)
Für unser Streuproblem ist ohnehin die Impuls-Spin-Eigenbasis die bequemere Wahl, denn wir betrachten
ja zwei Teilchen, die anfangs mit einem wohldefinierten Impuls aufeinander zufliegen und fragen
nach der Wahrscheinlichkeit, daß sie nach dem Stoß mit bestimmten Impulsen weiterfliegen.
Im folgenden ist es allerdings bequemer, zunächst in der Ortsdarstellung weiter zu arbeiten und Raumund
Zeitkoordinaten symmetrisch zu behandeln und mit x = (x 0 , ⃗x) Vierervektoren einzuführen, wie
es auch später in der Relativitätstheorie nützlich ist. Zu dem Zweck definieren wir als vierdimensionales
Potential
U (x 1 − x 2 ) = V (|⃗x 1 − ⃗x 2 |)δ(t 1 − t 2 ). (5.1.12)
Dann läßt sich der Wechselwirkungs-Hamilton-Operator (5.1.2) in der Form
H W (t) = 1 2
∑
∫
σ 1 ,σ 2
4 d 4 x 1
∫
schreiben. Dabei haben wir
4 d 4 x 2 δ[t − (x 1 ) 0 ]U (x 1 − x 2 )ψ † (x 1 ,σ 1 )ψ † (x 2 ,σ 2 )ψ(x 2 ,σ 2 )ψ(x 1 ,σ 1 )
∫
ψ(x,σ) =
3
d 3⃗ k
(2π) a(⃗ k,σ)exp(−ik · ⃗x)
3/2
k 0 =E( ⃗ k)
geschrieben, wobei wir uns der relativistischen Schreibweise für das Viererprudukt gemäß
(5.1.13)
(5.1.14)
k · x = k 0 x 0 − ⃗ k · ⃗x (5.1.15)
bedienen.
Außerdem ist es nützlich, die Fourier-Darstellung des Potentials (5.1.12) einzuführen:
∫
d 4 k
U (x 1 − x 2 ) =
4 (2π) Ũ (k)exp[−ik · (x 4 1 − x 2 )] = Ṽ (⃗ k). (5.1.16)
Dabei ist Ṽ das Fourier-transformierte Wechselwirkungspotential
∫
Ṽ (⃗p) = d 3 ⃗x exp(−i⃗p · ⃗x)V (|⃗x|).
3 (5.1.17)
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