Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 7 · Einführung in die Quantenelektrodynamik
Die Modenentwicklungen der Felder lauten dann gemäß (6.7.4) und (6.4.18)
∫
ψ(x) = d 3⃗ k ∑
3 σ
∫
⃗A(x) =
3 d 3⃗ k ∑ λ
c( k,σ)u( ⃗ k,σ)u ⃗ ⃗k,+ (x) + d † ( k,σ)v( ⃗ k,σ)u ⃗
∗ (x) , (7.2.5)
k,+ ⃗
⃗ε( k,λ) ⃗
a( k,λ)u ⃗ ⃗k,+ (x) + a † ( k,λ)u ⃗
∗ (x) . (7.2.6)
k,+ ⃗
Dabei haben wir wieder die Modenfunktionen (6.7.3) verwendet und für die Elektronen- bzw. Positronenvernichtungsoperatoren
c( ⃗ k,σ) und d( ⃗ k,σ) geschrieben.
Als nächstes berechnen wir die freien Propagatoren des Dirac-Feldes und des elektromagnetischen
Feldes. Wie im nichtrelativistischen Fall treten sie bei der Anwendung des Wick-Theorems bei der störungstheoretischen
Auswertung von Matrixelementen aus, wenn Operatoren aus Wechselwirkungsbeiträgen
zu verschiedenen Raum-Zeit-Punktem kontrahiert werden. Diese treten aufgrund der Dyson-
Wick-Entwicklung (Bornsche Reihe) gemäß 5.1.65 stets als zeitgeordnetes Produkt auf.
Der Elektron-Positron-Propagator
Wir berechnen zunächst den Elektron-Positron-Propagator
iG ab (x − y) =
Ω c ψ a
(x)ψ b
(y) Ω
:= Θ(x 0 − y 0 )
Ωψ a
(x)ψ b
(y) Ω − Θ(y 0 − x 0 )
Ωψ b
(y)ψ a
(x) Ω ,
(7.2.7)
wobei das zusätzliche Vorzeichen beim zweiten Term von den Fermionenvertauschungsregeln bei der
Zeitordnung herrührt. Wir berechnen zunächst die Vakuumerwartungswerte. Da der Feldoperator im
hier betrachteten relativistischen Fall stets eine Summe aus Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren
ist, sind beide Beiträge von Null verschieden. Es ist klar, daß zum ersten Term nur die Teilchen (Vernichtungsoperatoren
c( ⃗ k,σ)) und zum zweiten Term nur die Antiteilchen (Vernichtungsoperatoren
d( ⃗ k,σ)) beitragen. Setzen wir also die Modenentwicklung (7.2.5) ein, erhalten wir nach einer einfachen
Rechnung (Übung!)
ψa
Ω (x)ψ b
(y)
Ω ∫
=
3
ψb
Ω (y)ψ a
(x)
Ω ∫
=
3
d 3⃗ k
(2π) 3 2E( k) ⃗ (/k + m1 4 ) ab exp[−ik · (x − y)]
d 3⃗ k
(2π) 3 2E( k) ⃗ (/k − m1 4 ) ab exp[+ik · (x − y)]
k 0 =E( ⃗ k)=
k 0 =E( ⃗ k)=
⃗k 2 +m 2 ,
⃗k 2 +m 2 .
(7.2.8)
Dabei haben wir die auch im folgenden noch nützlichen Spinsummen der Dirac-Spinoren
∑
u( k,σ)u( ⃗ k,σ) ⃗ = /k + m,
σ
∑
v( k,σ)v( ⃗ k,σ) ⃗ = /k − m (7.2.9)
σ
verwendet, die am einfachsten mit Hilfe der expliziten Darstellung der Spinoren (6.7.7) und (6.7.8) und
den Antikommutatorregeln (6.6.4) bewiesen werden (Übung!).
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