Quantentheorie II - FIAS

4.3 · Fockraumformulierung für Observablen
auch Poisson-Klammern für beliebige Funktionale der Felder und kanonischen Feldimpulse definieren.
Dabei sind die Funktionale über ihre entsprechenden Dichten
∫
A[ψ,Π] = d 3 ⃗x (ψ,Π, ∇ψ, ⃗ ∇Π,...) ⃗
(4.3.59)
3
definiert. Aus den Hamiltonschen kanonischen Gleichungen folgt dann für die Zeitableitung eines beliebigen
Funktionals
d
dt A[ψ,Π] = {A, H} pb . (4.3.60)
Auch die Bewegungsgleichungen, die sich aus den Hamiltonschen Kanonischen Gleichungen (4.3.57)
ergeben, können mit Poissonklammern ausgedrückt werden, denn wegen
∫
ψ σ (t, ⃗x) = d 3 ⃗x ′ δ (3) (⃗x − ⃗x ′ )δ σσ ′ψ σ ′(t, ⃗x) (4.3.61)
3
ist
δψ σ (t, ⃗x)
δψ σ ′(t, ⃗x ′ ) = δ σσ ′δ(3) (⃗x − ⃗y). (4.3.62)
Daraus folgen insbesondere die elementaren Poisson-Klammerbeziehungen
ψσ (t, ⃗x),ψ σ ′(t, ⃗x ′ ) pb = Π σ (t, ⃗x),Π σ ′(t, ⃗x ′ ) pb = 0,
ψσ (t, ⃗x),Π σ ′(t, ⃗x ′ ) pb = δ σσ ′δ(3) (⃗x − ⃗x ′ ).
(4.3.63)
Entsprechend der kanonischen Quantisierung in der Punktmechanik können nun die Poisson-Klammerrelationen
für Funktionale der klassischen Felder als Kommutatorrelationen für bosonische Feldoperatoren
uminterpretiert werden:
ψσ (t, ⃗x),ψ σ ′(t, ⃗x ′ ) = Π σ (t, ⃗x),Π σ ′(t, ⃗x ′ ) = 0,
ψσ (t, ⃗x),Π σ ′(t, ⃗x ′ ) = iδ σσ ′δ (3) (⃗x − ⃗x ′ )
(Bosonen).
(4.3.64)
Für fermionische Feldoperatoren müssen wir hingegen Antikkommutatorrelationen postulieren:
ψσ (t, ⃗x),ψ σ ′(t, ⃗x ′ ) = Π σ (t, ⃗x),Π σ ′(t, ⃗x ′ ) = 0,
ψσ (t, ⃗x),Π σ ′(t, ⃗x ′ ) = iδ σσ ′δ (3) (⃗x − ⃗x ′ )
(Fermionen).
(4.3.65)
Es zeigt sich, daß dieses Vorgehen alle Beziehungen aus den vorherigen Abschnitten 4.3.2-4.3.4 reproduziert.
Dabei ergibt sich die Zeitabhängigkeit der Feldoperatoren im Heisenberg-Bild. Für Zweiteilchenwechselwirkungen
über ein Potential ist zum sich bei der kanonischen Quantisierung der Hamiltondichte
(4.3.56) ergebenden Einteilchen-Hamilton-Operator noch der Zweiteilchenoperator (4.3.25)
hinzuzufügen.
4.3.6 Das Noether-Theorem im Feldformalismus
Wir können nun, wieder analog wie in der Punktmechanik, die Bedeutung von Symmetrien für die
Felder betrachten. Dabei liegt wieder eine Symmetrie vor, wenn die Bewegungsgleichungen forminvariant
unter der entsprechenden Transformation sind. So ist die Schrödinger-Gleichung für ein freies
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