Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 6 · Einführung in die relativistische Quantentheorie
Dies läßt sich nun offensichtlich auch mit Hilfe kovarianter Ausdrücke schreiben. Aus p 1 und p 2 läßt
sich nämlich die Invariante
p 1 · p 2 = m 1 m2 2 (lab)
+ (P )
2 2 (6.2.21)
bilden, und wir können (6.2.20) in der Form
v rel :=
( p1 p 2 ) 2 − m 2 1 m2 2
E 1 E 2
(6.2.22)
angeben. Im Laborsystem stimmt diese Definition mit (6.2.20) überein. Nun stellt zwar (6.2.22) keinen
manifest kovarianten Ausdruck dar, wir werden aber sehen, daß mit Hilfe dieser Definition der
Wirkungsquerschnitt manifest kovariant definiert werden kann. Außerdem kann man zeigen, daß für
kollineare Lorentzboosts, also Lorentzboosts in Kollisionsrichtung (in unserer Konvention (6.2.19)
also in 3-Richtung) tatsächlich v rel = | ⃗v 1 − ⃗v 2 | gilt (Übung!). Dies ist aber nicht korrekt für beliebige Lorentzboosts,
wenn also die Teilchen im betrachteten Bezugssystem nicht mehr kollinear aufeinandertreffen!
Es ist weiter noch nützlich, einige Beziehungen zwischen den Mandelstamvariablen und den Größen
im Laborsystem herzuleiten. Aus (6.2.19) und (6.2.17) folgt sofort
E (lab) = s − m2 1 − m2 2
, (6.2.23)
2
2m 1
[s −
P (lab) = (E (lab) )
2 2 2 − m2 2 = (m1 + m 2 ) 2 ][s − (m 1 − m 2 ) 2 ]
. (6.2.24)
2m 1
Die Beziehung zum Endzustand läßt sich durch die Mandelstamvariablen t und u ausdrücken:
Zusammen mit (6.2.18) folgt
E (lab)
3
= m2 1 + m2 3 − t
2m 1
. (6.2.25)
E (lab)
4
= m 1 + E (lab)
2
− E (lab)
3
= m2 1 + m2 4 − u
2m 1
. (6.2.26)
Entsprechend ergeben sich schließlich die Impulse der auslaufenden Teilchen zu
P (lab) [(m1 + m
=
3 ) 2 − t][(m 1 − m 3 ) 2 − t]
,
3
2m 1
P (lab)
4
=
[(m1 + m 4 ) 2 − u][(m 1 − m 4 ) 2 − u]
2m 1
.
(6.2.27)
6.2.3 Schwerpunktsystem
Das Schwerpunktsystem ist definiert als dasjenige System, in dem der Gesamtdreierimpuls verschwindet:
p (cm) (cm) E
= 1
1
⃗p (cm) , p (cm) (cm) E
= 2
2
−⃗p (cm) , p (cm) (cm) E
= 3
3
⃗p ′ (cm) , p (cm) (cm) E
= 4
4
−⃗p ′ (cm) . (6.2.28)
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