Quantentheorie II - FIAS

6.9 · Die diskreten Symmetrietransformationen P, C und T
Der Vergleich von (6.9.11) mit (6.9.13) zeigt, daß die Matrix Ŝ(C ) die Gleichung
erfüllen muß. In unserer Darstellung der Dirac-Matrizen (6.6.6) gilt
und wie man leicht nachrechnet, erfüllt
die Relationen (6.9.14).
S −1 (C )γ µ Ŝ(C ) = −(γ µ ) t (6.9.14)
(γ µ ) t = (−1) µ γ µ , (6.9.15)
Ŝ(C ) = iγ 2 γ 0 , Ŝ −1 (C ) = iγ 0 γ 2 = −Ŝ(C ) (6.9.16)
6.9.3 Zeitumkehr
Die Zeitumkehrtransformation muß wie folgt auf Orts- und Impulsoperatoren wirken:
U(T )⃗xU † (T ) = ⃗x, U(T )⃗pU † (T ) = −⃗p. (6.9.17)
Eine analoge Rechnung wie oben beim Paritätsoperator ergibt, daß die Zeitumkehrtransformation
antiunitär zu repräsentieren ist. Da ein antiunitärer Operator mit einer Adjunktion der ähnlichkeitstransformierten
Operatoren einhergeht, muß die Wirkung der Zeitumkehrtransormation auf den
Dirac-Feldoperator durch
ψ T
(t, ⃗x) = U(T )ψ(t, ⃗x)U † (T ) = η T Ŝ(T )ψ t (−t, ⃗x) (6.9.18)
gegeben sein. Aus der Gültigkeit der Diracgleichung für ψ(t, ⃗x) folgt wegen der Antiunitarität von
U(T )
(−i /∂ ∗ − m)ψ T
(t, ⃗x) = 0. (6.9.19)
Dies in (6.9.18) eingestzt, liefert die Bedingung
Ein Vergleich mit (6.9.13) ergibt, daß
Ŝ −1 (T )(i /∂ ∗ + m)Ŝ(T )ψt (−t, ⃗x) = 0. (6.9.20)
Ŝ −1 (T )(γ 0 ) ∗ Ŝ(T ) = −(γ 0 ) t , Ŝ −1 (T )⃗γ ∗ Ŝ(T ) = ⃗γ t ⇔ Ŝ−1 (T )(γ µ ) ∗ Ŝ(T ) = T µ ν (γ µ ) t (6.9.21)
mit der Zeitumkehrmatrix (T µ ν ) = diag(−1,1,1,1). In unserer Darstellung der Diracmatrizen (6.6.6)
sind γ 0 , γ 1 und γ 3 reell und γ 2 rein imaginär. Zusammen mit (6.9.15) folgt dann aus (6.9.21)
Ŝ −1 (T )γ µ Ŝ(T ) = −γ µ . (6.9.22)
Es ist sofort klar, daß
mit
diese Gleichung erfüllt.
Ŝ(T ) = Ŝ−1 (T ) = γ 5 (6.9.23)
γ 5 = γ 5 := iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 (6.9.24)
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