Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 2 · Galilei-Symmetrie
gegeben. Diese Gleichung folgt unmittelbar aus der Bewegungsgleichung für die Eigenvektoren nicht
explizit zeitabhängiger Observablen im Heisenbergbild
|t, ⃗x,σ〉 = exp(itH)|t = 0, ⃗x,σ〉. (2.12.13)
Es handelt sich also um die Komponenten der simultanen ⃗x-S z -Eigenvektoren bzgl. der ⃗x ′ -S z ′ -Eigenbasis.
Wir können diese Größe unter Verwendung von (2.12.11) bestimmen, indem wir zunächst die
simultanen Eigenwertgleichungen in dieser Basis schreiben:
ˆ⃗xU ∗ σσ
= − a ′ 2 ⃗e z t 2 σ ′ + t
⃗∇
iM x ′ + ⃗x ′ U ∗ !
σσ
= ⃗xU ∗ ′ σσ
, ′ (2.12.14)
Ŝ z U ∗ σσ
= σ ′ U ∗ !
′ σσ
= σU ∗ ′ σσ
. ′
Die letzte Gleichung besagt, daß U σσ ′ ∝ δ σσ ′ ist. In der hier betrachteten Näherung bleibt also ein
Spin-z-Eigenzustand stets in diesem Eigenzustand, maW. es erfolgt während der Bewegung durch das
Magnetfeld kein „Spin-Flip“. Wie wir unten noch sehen werden, ist dies allerdings die wesentliche Folge
der hier betrachteten Näherung. Die Lösung von (2.12.14) ist ebenfalls einfach durch direkte Integration
zu gewinnen (Übung!):
iM
U σσ ′(t, ⃗x, ⃗x ′ ) = N(t)exp
2t
(⃗x ′ − ⃗x) 2 − at 2 σ(z ′ + z) δ σσ ′. (2.12.15)
Dabei haben wir die Integrationskonstanten so angepaßt, daß unter der Voraussetzung, daß wir N(t)
so wählen können, daß
N(t) = N ∗ (−t) (2.12.16)
ist,
U ∗ σ ′ σ (−t, ⃗x ′ , ⃗x) = U σσ ′(t, ⃗x, ⃗x ′ ) (2.12.17)
gilt 11 . Um N(t) zu bestimmen, verwenden wir die Tatsache, daß U σσ ′(t, ⃗x, ⃗x ′ ) die zeitabhängige Schrödingergleichung
erfüllt. Dies führt auf eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung für N(t), die
die Lösung (Übung!)
m
3/2
N(t) = exp
−i M a2 σ 2 t 3
(2.12.18)
2πit
24
besitzt. Dabei haben wir die zunächst unbestimmte Normierungskonstante bereits so gewählt, daß
auch die Anfangsbedingung
U σ,σ ′(t = 0, ⃗x, ⃗x ′ ) = δ (3) (⃗x − ⃗x ′ ) (2.12.19)
erfüllt ist.
Die Wellenfunktion mit dem Gaußschen Wellenpaket (2.12.5) als Anfangsbedingung lautet also
∫
ψ σ (t, ⃗x) = d 3 ⃗x ∑ 2
U σσ ′(t, ⃗x; ⃗x ′ )ψ σ ′(t = 0, ⃗x) =
3 π
σ ′
11 vgl. (1.10.11)
× exp
× exp[iΦ(t, ⃗x)]
− M 2 ∆ 2
x − p 0 t
4∆ 4 M 2 + t 2 m
3/4
M∆
it + 2M ∆ 2 3/2
c σ
2
+ y 2 +
z + aσ t 2 2
2
(2.12.20)
100