Quantentheorie II - FIAS

1.13 · Die Zeitentwicklung in einem beliebigen Bild (Dirac-Bild)
erhalten bleiben müssen, erwarten wir, daß es unitäre Zeitentwicklungsoperatoren für die Zustände
und Observablenoperatoren gibt, so daß die Bewegungsgleichungen durch
gelöst werden. Dabei gelten die Unitaritätsbedingungen
O(t) = A(t)O(t = 0)A † (t), (1.13.4)
|ψ(t)〉 = C(t)|ψ(t = 0)〉 (1.13.5)
A † (t)A(t) = A † (t)A(t) = 1, C † (t)C(t) = C † (t)C(t) = 1. (1.13.6)
Aus (1.13.4) folgt auch sofort die Zeitabhängigkeit der Eigenzustände des Operators O(t). Wir definieren
diesen Eigenzustand dadurch, daß er zur Zeit t den fest vorgegebenen Eigenwert o besitzt. Wegen
der Unitarität des Zeitentwicklungsoperators A(t) ist es klar, daß sich das Spektrum des Operators
O(t) nicht ändert, d.h. O(t) besitzt dieselben (verallgemeinerten) Eigenwerte wie O(t = 0). Per definitionem
ist also stets
O(t)|o, t〉 = o |o, t〉. (1.13.7)
Diese Eigenschaft erfüllt nun aber offensichtlich der Vektor
denn es ist
|o, t〉 = A(t)|o, t = 0〉, (1.13.8)
O(t)A(t)|o, t = 0〉 = A(t)O(t = 0)A † (t)A(t)|o, t = 0〉
= A(t)O(t = 0)|o, t = 0〉 = oA(t)|o, t = 0〉.
(1.13.9)
Da A(t) unitär ist, durchläuft weiter A(t)|o, t = 0〉 ein (verallgemeinertes) vollständiges Orthonormalsystem,
wenn |o, t = 0〉 ein solches repräsentiert. Wir können also (1.13.8) als ein verallgemeinertes
VONS von Eigenzuständen zu O(t) verwenden, wenn wir ein solches VONS von Eigenzuständen
|o, t = 0〉 zu O(t = 0) gefunden haben. Damit ist (1.13.8) eine konsistente Zeitentwicklung für die
Eigenzustände von O(t).
Wenden wir uns nun als erstes der Bewegungsgleichung (1.13.3) für die Zustände zu. Um die entsprechende
Bewegungsgleichung für C(t) zu erhalten, leiten wir (1.13.5) nach der Zeit ab
d
dt |ψ(t)〉 = Ċ(t)|ψ(t 0 )〉 = Ċ(t)C† (t)|ψ(t)〉. (1.13.10)
Der Vergleich mit (1.13.3) zeigt, daß C(t) die Bewegungsgleichung
Ċ(t)C † (t) = − i Y(t) (1.13.11)
ħh
erfüllt. Daß dies mit der Selbstadjungiertheit von Y verträglich ist, zeigt man unter Verwendung der
Unitarität (1.13.6) wie bei der entsprechenden Rechnung für die Bildtransformation (1.9.6-1.9.8). Multiplizieren
wir dies von rechts mit C erhalten wir
Diese Gleichung ist unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung
Ċ(t) = − i Y(t)C(t). (1.13.12)
ħh
C(0) = 1 (1.13.13)
45