Quantentheorie II - FIAS

Anhang C · Formeln für die QED
Schließlich benötigt man oft die Spur von Dirac-Matrixprodukten. Dazu bemerken wir, daß aufgrund
der expliziten Darstellung der Dirac-Matrizen (6.6.7)
trγ µ = 0.
(C.1.10)
Aus der Vertauschbarkeit von Matrizen unter der Spur folgt unter Zuhilfenahme der Antikommutatorregeln
(C.1.1)
tr(γ µ γ ν ) = 1 2 tr({γ µ ,γ ν }) = g µν tr1 = 4g µν .
(C.1.11)
Aus der Blockgestalt der Dirac-Matrizen gemäß (6.6.7) folgt, daß ein Produkt aus einer ungeraden Anzahl
von Dirac-Matrizen stets eine solche Blockgestalt hat, d.h. die Blöcke auf der Diagonalen solcher
Produkte sind identisch 0 und damit insbesondere auch die Diagonalelemente der Gesamtmatrix selbst,
d.h. es gilt
⎛ ⎞
Für vier Dirac-Matrizen gilt
tr⎝γ γ ν ...γ ω ⎠ = 0
} {{ }
für alle n ∈ . (C.1.12)
2n+1
tr(γ µ γ ν γ ρ γ σ ) = 4(g µν g ρσ − g µρ g νσ + g µσ g νρ ).
(C.1.13)
Zum Beweis verwenden wir wieder die Antikommutatorregeln, (C.1.11):
tr(γ µ γ ν γ ρ γ σ ) = 2g µν 4g ρσ − tr(γ ν γ µ γ ρ γ σ ) = 8g µν g ρσ − 8g µρ g νσ + tr(γ ν γ ρ γ µ γ σ )
= 8(g µν g ρσ − g µρ g νσ + g µσ g ρµ ) − tr(γ ν γ ρ γ σ γ µ ).
(C.1.14)
Die letzte Spur ist wegen der Vertauschbarkeit von Matrizen unter der Spur gleich der Spur auf der
linken Seite der Gleichung, und Vereinigen dieser Terme ergibt schließlich (C.1.13).
Bei der Berechnung von Spinsummen oder Mittelwertbildung über die Spins bei der Berechnung unpolarisierter
Wirkungsquerschnitte benötigt man noch die Spin-Summen über die Elektron- und Positronamplituden
(6.7.8)
∑
u( k,σ)u( ⃗ k,σ) ⃗ ∑
= /k + m, v( k,σ)v( ⃗ k,σ) ⃗ = /k − m. (C.1.15)
σ
Diese Formeln beweist man am einfachsten durch Rechnen mit der expliziten Darstellung (6.7.7) und
(6.7.9).
σ
C.2 Polarisationsvektoren für Photonen
Nur die beiden transversal-raumartigen Feldfreiheitsgrade eines (asymptotisch) freien Photons sind
physikalische Feldfreiheitsgrade. Entsprechend gibt es zu jedem Impuls ⃗ k eines Photons zwei aufeinander
orthogonale und zu ⃗ k orthogonale Polarisationsvektoren. Für die in diesem Skript verwendeten
linearen Polarisationszustände für elektromagnetische Feld in Strahlungseichung, das den Eichbedingungen
A 0 (x) = 0, ⃗ ∇ · ⃗ A(x) = 0 (C.2.1)
genügt, ergeben sich daraus zwei reelle Polarisationsvektoren
ε µ ( ⃗ k,α) mit ε 0 ( ⃗ k,α) = 0, α ∈ {1,2}. (C.2.2)
256