Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 6 · Einführung in die relativistische Quantentheorie
Summiert man also die Exponentialreihe (6.6.31) auf (Übung!), folgt
η
η
S B (⃗η) = γ
cosh
0 γ 0 − sinh ⃗n · ⃗γ . (6.6.33)
2 2
Dies kann man einfacher in der Form
S B (⃗η) = γ 0 /U mit U =
cosh(η/2)
sinh(η/2)⃗n
schreiben. In den Komponenten der Vierergeschwindigkeit des Teilchens
coshη 1 1 1
u = = = γ
⃗n sinhη 1 − v 2 ⃗v
⃗v
(6.6.34)
(6.6.35)
ausgedrückt ist (Übung!)
U =
γ+1
⃗n
2
γ−1
2
. (6.6.36)
Wenden wir uns nun den Drehungen zu. Diese transformieren definitionsgemäß nur die räumlichen
Komponenten untereinander, d.h. in (6.6.20) ist
ω 00 = ω 0 j = −ω j 0 = 0, ω j k = −ε j k l ϕ l für j , k ∈ {1,2,3}. (6.6.37)
Für infinitesimale Drehungen folgt daraus in der Tat
x ′0 = x 0 , x ′ j = x j + ε j k l δϕ l x k = x j − (δ ⃗ϕ × ⃗x) j . (6.6.38)
Durch Exponentiation folgt daraus die endliche Drehung zu
⃗x ′ = ⃗n (⃗n · ⃗x) − sinϕ ⃗n × ⃗x + cosϕ P ⊥ (⃗n)⃗x mit ⃗n = ⃗ϕ ϕ . (6.6.39)
Weiter ist
Wir notieren noch
Mit (6.6.37) folgt daraus
γ j k σ
= −
j ,σ k
0
0 σ j ,σ k
Σ l = i 8 ε j k l γ j k = i 4 ε j k l γ j γ k = 1 2
= −2iε j k l σ
l
0
0 σ l =: −4iε j k l Σ l . (6.6.40)
σ
l
0
0 σ l . (6.6.41)
1
S D ( ⃗ϕ) = exp
8 ω µν γ µν = exp i ⃗ϕ · ⃗Σ . (6.6.42)
Dies macht die hier verwendete Weyl-Darstellung der Diracmatrizen bequem: Der Spinoperator ist
Block-diagonal mit den Spinmatrizen σ l /2 auf den Diagonalblöcken. Da die ⃗ Σ hermitesche Matrizen
sind, werden Drehungen gemäß (6.6.42) in der Tat unitär dargestellt.
Üblicherweise definiert man statt der γ µν
σ µν = i 4 γ µν = i 4 [γ µ ,γ ν ], (6.6.43)
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