Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 2 · Galilei-Symmetrie
Gemessen werden (unter der Annahme einer idealen Photoplatte, die jedes Teilchen, das auf sie trifft,
auch wirklich registriert) alle Teilchen, die im Laufe der Zeit t ∈ (−∞,∞) bei x = L ankommen. Die
entsprechende Verteilung erhalten wir offenbar, indem wir die Stromkomponente
j x (t, x = L, y, z) = 1
2Mi
∑
[ψ ∗ ∂ x ψ − (∂ x ψ ∗ )ψ] (2.12.24)
über t ∈ integrieren. In Abb. 2.2 haben wir diese Stromkomponente für die Situation, daß anfangs
gleich viele Teilchen mit Spin-z-Komponenten σ = ±1/2 vorhanden waren (d.h. c +1/2 = c −1/2 = 1/ 2)
numerisch über t ∈ und y ∈ integriert, d.h. wir betrachten die Verteilung in z-Richtung. In der
Tat sind aufgrund der Wahl der Anfangsparameter für dieses Beispiel die beiden Peaks entsprechend
der Anfangseinstellung des Spins wohlsepariert, und die Teilchen besitzen entsprechend unserer Näherung
des Hamiltonoperators (2.12.4) praktisch reine Spin-z-Zustände, wenn wir einen der beiden
Teilstrahlen durch eine Blende laufen lassen, und den anderen vollständig absorbieren.
Betrachtet man statt der Näherung (2.12.4) den genaueren Hamiltonoperator (2.12.5), läßt sich das
Problem nicht mehr geschlossen lösen. Die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen für Orts-, Impulsund
Spinoperatoren lauten dann nämlich
˙⃗p = 1 i [⃗p,H] = −aS z ⃗e z + aS y ⃗e y ,
σ
˙⃗x = ⃗p M ,
(2.12.25)
˙⃗ S = µB g ⃗ s B × S. ⃗
Man kann allerdings mit Hilfe der zeitabhängigen Störungstheorie zeigen, daß für B 0 ≫ β〈y〉 die Beimischungen
von Teilchen mit entgegengesetzten Spin klein sind, weil die Korrekturglieder mit der
großen Larmorfrequenz ω = µ B g s B 0 oszillieren und sich somit bei der Zeitintegration der entsprechenden
Stromkomponente j x gegenseitig aufheben. Genauere numerische Untersuchungen zur Berücksichtigung
des Spin-Flips beim Stern-Gerlach-Versuch finden sich in [PBCBGC05].
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